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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{juin 2002}}
\rfoot{\small{Lyon}}
\begin{center} {\Large{\textbf{~\decofourleft~Brevet - Lyon\footnote{Besançon--Dijon--Nancy-Metz--Reims--Strasbourg}  
  juin 2002~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\Large{Activités numériques}\hfill 12 points}

\bigskip
 
\emph{Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés
doivent être accompagnés d'explications, le barème en tenant compte.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On considère les trois nombres A, B et C :

A$ =\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5} \times \dfrac{11}{6}$ ;
$\quad \text{B}=2\sqrt{5}-\sqrt{20}-3\sqrt{45}$ ;
$\quad \text{C} =\dfrac{4 \times 10^{14} \times 12}{3 \times 10^{11}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner A sous forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous la forme $a\sqrt{5}$, $a$ étant un nombre entier
relatif.
\item Donner l'écriture scientifique de C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On considère l'expression : 

\[D = (4x - 1)^{2}+(x + 3)(4x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(4x - 1)(5x + 2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de $540$ et de $300$.
\item Une pièce rectangulaire de 5,40 m de long et de 3 m de large
est recouverte, sans découpe, par des dalles de moquette carrées,
toutes identiques.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la mesure du côté de chacune de ces dalles, sachant
que l'on veut le moins de dalles possibles ?
		\item Calculer alors le nombre de dalles utilisées ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
Voici le diagramme représentant la répartition des notes obtenues par
les élèves d'une classe de troisième lors d'un contrôle de français :
les notes sur 20 sont reportées en abscisses, le nombre d'élèves en
ordonnées :

\medskip
\psset{unit=0.57cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(20,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(20,7)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(20,\n)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.8,0)(6.2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.8,0)(7.2,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.8,0)(8.2,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.8,0)(9.2,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.8,0)(10.2,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11.8,0)(12.2,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](12.8,0)(13.2,6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](14.8,0)(15.2,3)
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est l'effectif de cette classe de troisième ?
\item Calculer la moyenne des notes obtenues en donnant le résultat
sous sa forme décimale exacte.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large{Activités géométriques}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCDEFGH est un parallélépipède à base carrée.

\parbox{0.45\linewidth}{On donne :

AB = BC = 6 cm et BF = 4,5 m.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Montrer que DG~=~4,5~cm.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CDG}}$ arrondie au degré.
\item Calculer, en cm$^3$, le volume de la pyramide ABCDG.
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(6,6)
\psline(0,3)(4,3)(7,4.5)(3,4.5)(0,3)(0,0)(4,0)(7,1.5)(7,4.5)%EFGHEABCG
\psline(4,0)(4,3)%BF
\uput[dl](0,0){A} \uput[d](4,0){B} \uput[dr](7,1.5){C} \uput[dr](3,1.5){D} 
\uput[l](0,3){E} \uput[ul](4,3){F} \uput[ur](7,4.5){G} \uput[ul](3,4.5){H} 
\psline[linestyle=dashed](3,4.5)(3,1.5)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](3,1.5)(7,1.5)
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{Sur la figure ci-contre qui n'est pas en
vraie grandeur, le point A est sur le segment [OB] et le point C
est sur le segment [OD].

On donne :

OA = 8,5 cm ; AB = 11,5 cm ;

OC = 5 cm ; CD = 7 cm.
\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs OB et OD.
\item Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5)
\psline(0,0)(3.3,4.1)(4.3,0)%BOD
\psline(1.42,1.8)(3.85,1.8)%AC
\uput[dl](0,0){B} \uput[l](1.3,1.8){A} \uput[u](3.3,4.1){O} \uput[r](3.85,1.8){C} \uput[dr](4.3,0){D} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\emph{Les constructions demandées dans cet exercice sont à réaliser sur la figure ci-après.}

\emph{Laisser les traces de constructions visibles.}

\begin{center}\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(5,7.5)
\psline(3.1,6.4)(4.6,0)(1.5,0.85)(0,7.2)(3.1,6.4)(1.5,0.85)%ABCDAC
\psline(4.6,0)(0,7.2)%BD
\uput[ur](3.1,6.4){A} \uput[dr](4.6,0){B}  \uput[dl](1.5,0.85){C}  \uput[ul](0,7.2){D}  \uput[l](2.28,3.58){O} 
\end{pspicture} 
\end{center}
 
Sur cette figure, on a représenté un parallélogramme ABCD de centre O. Les droites (BC) et (AC) sont perpendiculaires.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer le cercle qui contient les trois points O, B et C. Justifier la position de son centre I.
\item Placer les points M et P tels que :

$\vect{\text{OM}} = \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}$ et $\vect{\text{BP}} = \vect{\text{BC}} + \vect{\text{OD}}$.
\item Utilisation d'une transformation.
	\begin{enumerate}
		\item Par quelle transformation a-t-on à la fois : O a pour image C et B a pour image M ?
		\item Montrer que, par cette transformation, le point D a pour image le point P.
		\item Montrer que les points P, C, M sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large{Problème}\hfill 12 points}

\bigskip
 
Un viticulteur propose un de ses vins aux deux tarifs suivants :

\begin{itemize}
\item \textbf{Tarif 1} : 7,50 \euro{} la bouteille, transport compris.
\item \textbf{Tarif 2} : 6 \euro{} la bouteille, mais avec un forfait de transport de 18 \euro.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Remplir le tableau donné ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de bouteilles &1	&5	&	&	&15\\\hline
Prix au tarif 1 en \euro &7,50&	&	&97,50&\\\hline
Prix au tarif 2 en \euro &	&48	&78	&	&\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Exprimer le prix payé par le consommateur en fonction du nombre
$x$ de bouteilles achetées.

Pour le tarif 1, le prix sera noté P$_{1}$.

Pour le tarif 2, le prix sera noté P$_{2}$.
\item Tracer, sur une feuille de papier millimétré, les
représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par :
\begin{center}
$f(x) = 7,5x \quad $ et $\quad g(x) = 6x+18$
\end{center}
pour des valeurs de $x$ comprises entre 0 et 15.

On placera l'origine dans le coin inférieur gauche de la feuille et
on prendra les unités suivantes :
\begin{itemize}
\item Sur l'axe des abscisses : 1 cm représente 1 bouteille.
\item Sur l'axe des ordonnées : 1 cm représente 10 \euro.
\end{itemize}

\textbf{Pour les questions 4 et 5, on laissera sur le graphique les
traits de rappel utilisées pour faciliter la lecture.}

\item Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique :
\begin{enumerate}
\item On veut acheter 6 bouteilles. Quel est le tarif le plus avantageux ?
\item On dispose de 70 \euro. Lequel des deux tarifs permet
d'acheter le plus grand nombre de bouteilles ?

Préciser le nombre de bouteilles.
\end{enumerate}
\item Utilisation du graphique, vérification par le calcul.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement pour combien de bouteilles le prix de revient est identique, quel que soit le tarif choisi. Donner ce nombre
de bouteilles.
Quel est le prix correspondant ?
		\item Vérifier ces deux derniers résultats par des calculs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}