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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produit de facteurs les deux expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(5x - 2)^2 - (3x + 6)^2\:\text{et}\\
B(x)& =&(x - 4)(3x - 7) - (x- 4)^2 - (4 - x)(6x - 5).
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction rationnelle $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

On obtient une fraction $F(x)$.
\item Calculer la valeur numérique de $F(x)$ pour $x = 2 \sqrt 2$.
\item Résoudre l'équation $F(x) = 1$.
\item Tracer, par rapport à deux axes de coordonnées orthonormés, les droites représentatives de 
\begin{center}$y = 2x + 1$\quad et \quad $y = x - 1$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?

Comparer avec la solution de la question 4. Expliquer.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle rectangle (ABC) rectangle en A
avec $\widehat{\text{B}} = 30\degres$ et BC $= 8$~cm.

On prolonge [BA] d'une longueur [AD] telle que AD $ = \dfrac{\text{AB}}{2}$.

La parallèle à (BC) passant par D coupe la droite (AC) en E ; les droites (BE) et (CD) se coupent en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [AC], [AB] et [CD].
\item Montrer que les triangles (ABC) et (ADE) sont semblables.

Calculer les longueurs des segments [AE] et [DE].
ID lE
\item Calculer les rapports $\dfrac{\text{ID}}{\text{IC}}$ et $\dfrac{\text{IE}}{\text{IB}}$.

 Que représentent (BD), (CE) et le point A pour le triangle (IBC) ?
\item La droite (IA) recoupe (BC) en M et (ED) en N.

Montrer que M et N sont respectivement les milieux de
[BC] et de [ED].

Calculer alors la longueur de [MN], puis celle de [IM].

En déduire la valeur de la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit au triangle (ABC).
\item Calculer $\tan \widehat{\text{ACD}}$.

Donner, à un degré près par excès, la valeur de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.
\end{enumerate}
\end{document}