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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lyon septembre 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produits de facteurs les expressions 
\begin{center}$3x^2 - 12$\quad et \quad $(x - 3) (8x + 2) - (2x - 6) (x - 5)$.\end{center}
\item Simplifier la fraction
\[F(x)  = \dfrac{3x^2 - 12}{(x - 3)(8x + 2) - (2x - 6)(x - 5)}\]
et calculer sa valeur numérique pour $x = 3$ et $x = \sqrt 2$.
\item Représenter sur le même graphique les variation des fonctions
\begin{center}$y_1 = x - 2$\qquad et\qquad $y_2 = 2x - 6$,\end{center}
puis, à l'aide du graphique, déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles la fraction $F(x)$ est égale:
	\begin{enumerate}
		\item à 1 ;
		\item à $\dfrac12$.
	\end{enumerate}
Vérifier ces résultats par le calcul.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un segment [AB] et le point I de [AB] tel que 
\[\dfrac{\overline{\text{IA}}}{\overline{\text{IB}}} = - \dfrac12.\]

Par A, B, I, on mène trois axes parallèles et de même sens $x'\text{A}x, y'\text{B}y, z'\text{I}z$.

Sur $x'\text{A}x$, on place le point M tel que $\overline{\text{AM}} = a$.

Sur $y'\text{B}y$, on place le point N tel que $\overline{\text{BN}} = b$.

(BM) et (AN) coupent $z'\text{I}z$ en P et Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\overline{\text{IP}}, \: \overline{\text{IQ}}, \overline{\text{PQ}},\:\dfrac{\overline{\text{IP}}}{\overline{\text{IQ}}}$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Calculer le rapport $\dfrac ab$ pour que Q soit le milieu de [IP].

Faire la figure correspondante.
\item Calculer le rapport $\dfrac ab$ pour que I soit le milieu de [PQ].

Faire la figure correspondante.
\end{enumerate}
\end{document}