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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{septembre 1966}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon\footnote{Besançon, Dijon et Grenoble} septembre 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré chacune des expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
E(x)&=&(2x - 3)^2- (x + 2)^2,\\
P(x)&=&\left(2x^2 - 2x\right) - 10x + 10
\end{array}\]
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $E(x)$ est-elle nulle ?
\item Simplifier la fraction $\dfrac{E(x)}{P(x)}$.

Soit $F(x)$ la fraction obtenue.

Calculer la valeur numérique de $F(x)$ pour $x = 1$, puis pour $x= \dfrac13$, puis pour $x = \sqrt 3$.
\item Pour quelle valeur de $x$ cette fraction est-elle égale à l'unité ?
\item Dans un système d'axes rectangulaires gradués avec la même unité, représenter graphiquement les variations des fonctions
\begin{center}$y= 3x-1$ \qquad et \qquad $y = 2(x - 1)$.\end{center}

Utiliser cette représentation pour résoudre graphiquement la question 4.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle isocèle ABC de sommet A ; on trace [AD) bissectrice intérieure de l'angle 
$\widehat{\text{BAC}}$ ; soit M un point pris sur le prolongement de [AD] tel que
$\widehat{\text{MBD}} = \widehat{\text{BAD}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles MAB et MBD ; en déduire
que 
\begin{center}MB$^2=$ MA $\times$ MD.\end{center}
\item Quelle est la nature du triangle ABM ?

Montrer qu'alors on peut retrouver la relation de la question 1.
\item Démontrer que le quadrilatère MBAC est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre et le
 rayon ; en déduire que MB = MC et que DA $\cdot$ DM $= \dfrac{\text{BC}^2}{4}$.
\item Dans le cas où AM $= 8$~cm et MB $= 4$~cm, calculer la longueur des côtés et la valeur des angles du triangle ABC.
\end{enumerate}
\end{document}