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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small septembre 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon septembre 1988 \decofourright}}\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer
-x-
\[A = \dfrac53 - \left(\dfrac34 - \dfrac{7}{12} \right)\qquad \text{et}\qquad  B = \dfrac{\dfrac{12}{5} \times \dfrac73}{\dfrac{28}{5} - \dfrac72}.\]

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit le nombre $C = \dfrac{\left(4 + \sqrt 2\right)^2}{2}$.

Écrire $C$ sous la forme $a + b\sqrt 2$,\: $a$ et $b$ étant deux entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ étant un nombre réel quelconque, on considère l'expression

\[f(x) = (6x - 18) - (x - 3)(2x + 5).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation

\[(x - 3)(- 2x + 1) = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième  partie }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un trapèze rectangle ABCD tel que

\begin{center}$\widehat{\text{B}} = \widehat{\text{C}} =90\degres$ ;\quad AB $= 5$~cm, BC $= 6$~cm, CD $= 7$~cm.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(6.2,5.4)
\pspolygon(1.9,5)(5.8,5)(5.8,0.3)(0.3,0.3)%ABCD
\psline[linestyle=dashed](1.9,5)(1.9,0.3)
\uput[ul](1.9,5){A} \uput[ur](5.8,5){B} \uput[dr](5.8,0.3){C} \uput[dl](0.3,0.3){D} \uput[d](1.9,0.3){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire une figure aux dimensions exactes.
\item Tracer la droite passant par A, parallèle à la droite (BC). Cette droite coupe la droite (DC) en H.
Démontrer que le quadrilatère ABCH est un rectangle.
\item Calculer AH, DH, AD, en justifiant les calculs.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la figure analogue à la figure ci-après
dans laquelle

\begin{itemize}
\item les points B, O, E sont alignés dans cet ordre ;
\item OB $= 7$ cm, OE $= 3$ cm ;
\item $\widehat{\text{AOB}} = 60\degres$ ;
\item les points A, O, C sont alignés dans cet ordre ;
\item les triangles OAB et OEC sont rectangles en A et E.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(0,-2.4)(8,5)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0)(0.3,4.7)(4.2,-2)(7.5,0)%ABEC
\psframe(0.3,0)(0.5,0.2)\rput{29}(4.2,-2){\psframe(0.2,0.2)}
\psarc(3,0){0.5}{115}{180}\rput(2.35,0.4){$60\degres$}
\uput[dl](0.3,0){A} \uput[u](0.3,4.7){B} \uput[r](7.5,0){C} \uput[d](4.2,-2){E} \uput[ur](3,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire une figure aux dimensions exactes.
\item Calculer les mesures des angles $\widehat{\text{ABO}},\: \widehat{\text{EOC}},\: \widehat{\text{ECO}}$.
\item Dans le triangle rectangle OAB, calculer OA.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième  partie }

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (unité: 1 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C de coordonnées A$(- 2~;~1)$,\: B$(2~;~- 3)$,\/ C(4~;~3).
\item Calculer les distances AC et BC. Que peut-on dire du triangle ABC ?
\item Soit E le milieu du segment [AB). Calculer les coordonnées de E.
\item Que représente la droite (EC) pour le segment [AB] ?
\item Écrire une équation de la droite (EC).
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection G de la droite (EC) et de l'axe des abscisses.
\item Dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite (AB), le point C a pour symétrique le point D.

Démontrer que le quadrilatère ADBC est un losange.
\end{enumerate}
\end{document}