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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small septembre 1996}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon septembre 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

(On précisera les calculs intermédiaires)

Calculer $A$, $B$ et $C$. Donner chaque résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible.

\[A = \dfrac{21}{40} \times \dfrac{32}{49} \qquad B = \dfrac73 - \dfrac56 + 1\qquad  C = \dfrac{14}{18} : \dfrac23\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ l'expression définie par 

\[F = (2x - 3)^2 + (x + 1)(2x - 3).\]

Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 3)(3x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Lors de la correction d'un examen, les notes de $24$ copies corrigées sont relevées pour être représentées à l'aide d'un histogramme.

Voici les $24$ notes relevées :

\[14,5 - 13 - 8 - 15,5 - 3 - 16 - 10,5 - 7,5 - 10,5 - 12,5  - 5,5 - 6\]
\[ 20 - 4,5 - 11,5 - 16 - 9,5 - 9 - 15,5 - 14,5 - 4,5 - 16 - 16 - 9,5\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reporter d'abord les résultats par classes selon le tableau ci-après. 
\item Représenter les résultats à l'aide d'un histogramme des effectifs.
\item Calculer les fréquences en pourcentage (arrondir à l'entier le plus pro- che) et les reporter dans le tableau.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize{}}X|}}\hline
Classes &$0 \leqslant \text{note} < 4$&$4 \leqslant \text{note} < 8$&$8 \leqslant \text{note} < 12$&$12 \leqslant \text{note} < 16$&$16 \leqslant \text{note} < 20$\\ \hline
Effectifs &&&&&\\ \hline
Fréquences (\%) &&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Question 2 : Histogramme des effectifs}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(23,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(23,12)
\uput[d](22,0){notes}
\uput[r](0,11.5){effectifs}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.7,3.5)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.2,0.2)(3.7,3.2)%BAC
\psline(0.6,1.7)(4.5,1.7)%FO
\uput[r](4.2,0.2){A} \uput[l](0.2,0.2){B} \uput[u](3.7,3.2){C} \uput[ul](1.9,1.7){F} \uput[ur](4,1.7){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
On donne la figure ci-contre.

On ne demande pas de la reproduire.

$\bullet~~$CO = 3cm 

$\bullet~~$CA = 5 cm 

$\bullet~~$CB = 8 cm

$\bullet~~$Les droites (OF) et (AB) sont parallèles.

Calculer CF en justifiant.
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les longueurs sont exprimées en cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Constructions

$\bullet~~$Tracer un cercle C de diamètre [AB] avec AB $= 6$.

$\bullet~~$Tracer la droite $(\Delta)$ perpendiculaire en B à la droite (AB).

$\bullet~~$Placer un point E du cercle qui vérifie AE $= 4$.

$\bullet~~$La droite (AE) coupe la droite $(\Delta)$ en F.
\item Démontrer que le triangle ABE est un triangle rectangle.
\item Calculer $\cos \widehat{\text{BAE}}$ et en déduire le calcul de AF.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un menuisier veut réaliser un meuble en coin dans lequel il pourra intégrer sa chaîne hi-fi qui a la forme d'un parallélépipède rectangle.

Il dessine dans son plan, une vue de dessus de son meuble.

Les mesures des segments ne sont pas respectées sur la figure ci-dessous.

\medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,3.6)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(0.2,3.5)(3.5,3.5)
\pspolygon(0.2,2.1)(1.6,3.5)(2.6,2.6)(1.2,1.2)
\uput[d](0.2,0.2){A} \uput[r](3.5,3.5){B} \uput[ul](0.2,3.5){O} \uput[l](0.2,2.1){E}
\uput[u](1.6,3.5){F} \uput[dr](2.6,2.6){G} \uput[dr](1.2,1.2){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.58\linewidth}
$\bullet~~$ OAB est un triangle rectangle isocèle.

$\bullet~~$ EFGH est un rectangle.

$\bullet~~$ EF = 37 cm ; FG = 35 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{GFB}}$.

En déduire la nature du triangle FGB.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{OFE}}$.

Sans autre justification, préciser la nature des triangles OFE et EHA.
\item En déduire le calcul de AB.
\end{enumerate}

\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\og Qu'est-ce que je grandis au collège ! \fg

\medskip

Après une étude faite par la médecine scolaire sur le poids et la taille des élèves en collège, on peut admettre que le poids $p$ est une fonction affine de la taille $t$.

Le poids $p$ est exprimé en kilogrammes et la taille $t$ en mètres.

\medskip

1\up{re} partie : \textbf{On s'intéresse aux filles}

\medskip

Voici sous forme d'un tableau les poids et les tailles de 2 filles du collège: Aline (élève de 6\up{e}) et Sophie (élève de 3\up{e}) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prénoms&Aline&Sophie\\ \hline
Poids $p$ en kg&23,5&51,5\\ \hline
Taille $t$ en m&1,25&1,65\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer par le calcul que la relation $p = 70 \times t - 64$ convient pour Aline et Sophie
\item À partir de cette relation, calculer la taille d'une fille qui pèse $48$ kg.
\item Représenter graphiquement la partie de droite définie par :

\[p = 70 \times  t - 64 \:\text{pour } \:t \: \text{compris entre}\: 1,20 \:\text{m et }\:1,80 \:\text{m}.\]

\item Par une lecture graphique, indiquer la taille d'une fille qui pèse $57$~kg.
\end{enumerate}

\bigskip

2\up{e} partie : \textbf{On s'intéresse aux garçons}

\medskip

Le but de cette partie est de chercher pour les garçons une relation du
type: $p = a \times t + b$ où les nombres $a$ et $b$ seront à calculer.

Voici sous forme d'un tableau les poids et les tailles de 2 garçons du collège :

Jean (élève de 6\up{e}) et Mathieu (élève de 3\up{e}) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prénoms&Jean &Mathieu\\ \hline
Poids $p$ en kg& 30 &62\\ \hline
Taille $t$ en m&1,35 &1,75\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Remplacer dans la relation $p = a \times t + b$ les nombres $p$ et $t$ par les valeurs correspondantes à Jean dans le tableau.
		\item Faire de même avec les valeurs de Mathieu.
	\end{enumerate}
\item Résoudre le système obtenu pour trouver les valeurs de $a$ et $b$ et vérifier que la relation qui convient pour les garçons est : $p = 80 \times t - 78$.
\item À partir de cette relation, calculer le poids d'un garçon qui mesure
$1,60$~m.
\item Sur la même feuille, représenter graphiquement la partie de droite définie par 

$p = 80 \times t - 78$ pour $t$ compris entre $1,30$ m et $1,85$ m.
\item Par lecture graphique, indiquer le poids d'un garçon qui mesure $1,52$ m.
\end{enumerate}

\bigskip

3\up{e} Partie : \textbf{\og filles et garçons\fg}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, trouver la taille pour laquelle les filles et les garçons ont le même poids.
\item Retrouver ce résultat par le calcul.
\end{enumerate}
\end{document}