\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Lyon septembre 1998},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small septembre 1998}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon septembre 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer l'expression suivante $A$ et écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible:

\[A = \dfrac23 - \dfrac53 \times \left(\dfrac25 - 1\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire l'expression suivante $B$ sous la forme $a\sqrt 7 + b$ où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs:

\[B = 3\sqrt{112} - 2\sqrt{25} + 4\sqrt{63}.\]

On justifiera toutes les étapes de calcul.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit l'expression $C = (3x - 1)^2 - 25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire, puis ordonner $C$.
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation: $(3x - 6)(3x + 4) = 0$.
\item Quelle est la valeur de $C$ pour: $x = - \dfrac43$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Lors d'un concert dans une salle de \np{1600} places, toutes les places sont occupées.

Parmi les places occupées, $\dfrac{1}{5}$ est constitué de places à demi-tarif.

La recette de la soirée s'élève à \np{86400} F{}.

Calculer le prix d'une place à plein tarif.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que : AB $= 5$ cm ; AC = 4 cm ; $\widehat{\text{B}} = 40\degres$.
\item Construire le pont E tel que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.
\item Placer le point F{}, image du point C dans la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer, dans un repère orthonormal (O, I, J), d'unité 1 cm, les points A$(- 2~;~2)$ et B(1~;~8).
\item Que calcule-t-on lorsqu'on écrit :

\[\left(\dfrac{- 2+1}{2}~;~ \dfrac{2 +  8}{2}\right)\, ;\, \sqrt{(1+2)^2 + (8 - 2)^2}~;~(1 + 2~;~8 - 2)? \]
\item Montrer qu'une équation de la droite (AB) est : $y = 2x + 6$.
\item Tracer la droite (D) d'équation : $y = - \dfrac12 x - 4$.
\item La droite (D) coupe la droite (AB) en E.

Calculer les coordonnées
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Soit le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ci-contre dont les dimensions sont les suivantes: 

FE $= 8$ cm ; FG $= 6$ cm ; FB $= 4$ cm.

Les points M et N sont les milieux des segments [FG] et [EF].
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(4.9,2.7)
\psframe(0.2,0.2)(3.2,1.7)%EFBA
\psline(3.2,0.2)(4.3,0.7)(4.3,2.2)(3.2,1.7)%FGCB
\psline(4.3,2.2)(1.3,2.2)(0.2,1.7)%CDA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.3,0.7)(4.3,0.7)%EHG
\psline[linestyle=dashed](1.3,0.7)(1.3,2.2)%HD
\psline[linestyle=dashed](3.75,0.45)(1.7,0.2)%MN
\psline(3.75,0.45)(3.2,1.7)(1.7,0.2)
\uput[l](0.2,1.7){A} \uput[u](3.2,1.7){B} \uput[ur](4.3,2.2){C} \uput[ul](1.3,2.2){D}
\uput[d](0.2,0.2){E} \uput[d](3.2,0.2){F} \uput[r](4.3,0.7){G} \uput[ul](1.3,0.7){H} 
\uput[dr](3.75,0.45){M} \uput[d](1.7,0.2){N} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs MN, NB et BM.
\item Calculer le volume de la pyramide BFMN.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{.75\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Réaliser en vraie grandeur la figure ci- contre (elle sera complétée au fur et à mesure dans la suite du problème)
\begin{itemize}
\item l'angle $\widehat{\text{XAZ}}$ mesure $45\degres$.
\item sur la demi-droite [A$z$), on place le point B tel que: AB $= 6$ cm.
\item le point I est le projeté orthogonal du point B sur la demi-droite [A$x$).
\item le point C est le symétrique du point B par rapport à la demi-droite [A$x$).
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.2\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(2.5,2)
\psline(2.828;45)(0;0)(2.828;-45)
\psline(1.5;45)(1.5;-45)
\psline(2.5,0)
\uput[dr](1.06,0){I}\uput[l](0,0){A}\uput[ul](1.5;45){B}\uput[dl](1.5;-45){C}
\uput[d](2.828;45){$z$}\uput[d](2.4,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que les triangles AIB et ABC sont rectangles et isocèles.

Préciser en quel sommet.
\item Calculer les valeurs exactes des distances AI et BC (on justifiera les
calculs).
(on pourra utiliser la valeur exacte du cosinus d'un angle de $45\degres$ : $\cos 45\degres = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ou $\cos 45\degres = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$).
\item On place sur le segment [IB] le point M tel que: BM $= 3$ cm. On trace le cercle de centre B et de rayon BI; ce cercle coupe le segment [AB] en L.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer séparément les valeurs des rapports $\dfrac{\text{BL}}{\text{BA}}$ et 
$\dfrac{\text{BM}}{\text{BI}}$ ; comparer ces valeurs.
		\item Que peut-on déduire des calculs précédents pour les droites (AI) et (LM) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}