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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Madagascar}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Madagascar}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de deux facteurs l'expression
\[A = (2x + 3)^2 - (x + 4)^2.\]

Développer et ordonner et résoudre 
\[3x^2 + 4x - 7 = 0\]
en utilisant le calcul précédent.
\item On considère la fraction rationnelle
\[B = \dfrac{A}{x^3 - 2x^2 + x}.\]

Simplifier cette fraction.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on:
	\begin{enumerate}
		\item $B= 0$ ;
		\item $B = \dfrac 1x$ ?
	\end{enumerate}
\item Dessiner les droites $_1$l et $D_2$ qui représentent respectivement les variations des fonctions
\begin{center}$y = 3x + 7$ \qquad et \qquad $y = x - 1$.\end{center}

Ces droites se coupent en M et coupent respectivement l'axe $y'$O$y$ en N et P.

Calculer les coordonnées des points M, N, P et celles du milieu, I, de [NP].
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Les côtés d'un rectangle ABCD sont donnés par les relations
\begin{center}AD $= a$ et AB $= a\sqrt 2$,\: $a$ étant une longueur donnée.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer -- et justifier -- la construction graphique du rectangle ABCD (faire la figure en prenant $a = 4$~cm).
\item Calculer, en fonction de $a$, la longueur de la diagonale [BD] du rectangle ABCD.
\item On mène (AH) et (CK) respectivement perpendiculaires sur la diagonale [BD].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer DH et KB en fonction de $a$.
		
Conséquences de ce calcul au point de vue du partage de la diagonale [BD] par les points H et K.
		\item Calculer AH en fonction de $a$.
		\item Trouver la nature du quadrilatère AHCK et calculer le rapport de son aire  à celle du rectangle ABCD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}