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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Madagascar}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Madagascar juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Trouver une fraction dont le dénominateur ne
contient pas de racine carrée et qui est égale à la fraction
\[\dfrac{1}{\sqrt 5 - \sqrt 2}.\]

\item Résoudre le système de deux équations à deux
inconnues
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac xy&=&\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt 2}\\
x-y &=&15.
\end{array}\right.\]

\item $x$ et $y$ étant solution du système, calculer

\[V = \dfrac{5x}{3} - \dfrac{2y}{3}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On considère une droite $(D)$ et un point A non situé sur cette droite.

Soit B le pied de la perpendiculaire menée de A sur la droite $(D)$.

M étant un point quelconque de la droite $(D)$, on construit Je point C symétrique de B par rapport à la droite (AM).

On rappelle que le point C s'obtient de la façon suivante: P étant le pied de la perpendiculaire menée de B sur (AM), on prolonge [BP] d'une longueur PC égale à BP{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Nature du triangle ABC ?
		\item Démontrer que le quadrilatère ABMC est inscriptible dans un cercle.
		\item Soit H l'orthocentre du triangle MBC ; démontrer que le quadrilatère ABHC est un losange.
	\end{enumerate}
\item  On suppose maintenant A et la droite $(D)$ fixes et le point M se déplaçant sur la droite $(D)$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de 1. a. dire sur quelle ligne fixe se déplace le point C.
		\item À l'aide de 1. b. dire sur quelle ligne fixe se déplace le centre O du cercle circonscrit au triangle MBC.
		\item À l'aide de 1. c. dire sur quelle ligne fixe se déplace l'orthocentre H du triangle MBC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N.B. -} On appelle orthocentre d'un triangle le point de concours des hauteurs de ce triangle.
\end{document}