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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Madagascar}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Madagascar juin 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux axes de coordonnées rectangulaires, $x'x$ et $y'y$.


\begin{enumerate}
\item Construire les points
\begin{center}A(3~;~4),\qquad B$(- 3~;~1)$, \qquad C(4~;~2).\end{center}

(Prendre le centimètre pour unité sur les deux axes.) 

Former les équations des droites (AB) et (AC).
\item Établir une propriété des droites (AB) et (AC).

Calculer BC.
\item Calculer les coordonnées du milieu, M, de [BC].

Former l'équation de la droite (AM).
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un segment [AC], de milieu B (AB = BC $= a$).

Soit $(D)$ la perpendiculaire à (AC) en C.

On mène une droite (AM), qui coupe $(D)$ en M, puis la droite (BN) perpendiculaire à (AM), qui coupe $(D)$ en N et (AM) en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (BM) est perpendiculaire à (AN).
\item Si l'on désigne par Q le point de rencontre de (BM) et AN, démontrer que A, P et Q sont sur un même cercle, que l'on déterminera.
\item Démontrer que les triangles ACM et BCN sont semblables.

En déduire que CM $\cdot$ CN $= 2a^2$.
\item Dans le cas où CN est le double de CM, calculer AP.

 Quelle est la nature du triangle QPC ?
\end{enumerate}
\end{document}