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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madagascar juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\textbf{I}

\medskip

Trouver la fraction $\dfrac ab$, sachant que, si l'on augmente son numérateur et son dénominateur de 1, la nouvelle fraction obtenue vaut $\dfrac23$ et que, si l'on diminue son numérateur et son dénominateur de 2, la nouvelle fraction obtenue vaut $\dfrac13$.

\medskip

\textbf{II}

\medskip

Soit l'équation
\[\dfrac{x -1}{x +3} + \dfrac{2x + 5}{x - 1} = 3 + \dfrac{16}{(x - 1) (x + 3)}.\]

\begin{enumerate}
\item À quelles conditions les deux membres de cette équation sont-ils définis ?
\item Résoudre cette équation.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O et de rayon $R$.

On trace deux diamètres perpendiculaires, [AB] et [CD].

On prend un point M sur le petit arc $\wideparen{\text{BC}}$.

On mène BM, AM, AC et CM.

Le prolongement de [CM] coupe (AB) en P et (AM) coupe (OC) en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs de l'angle inscrit $\widehat{\text{AMC}}$ et de l'angle $\widehat{\text{BMP}}$ ?

Comparer les triangles AMC et PMB.

En déduire que MA $\cdot$ MB = MC $\cdot$ MP.
\item Montrer que
\begin{center}$\overline{\text{AI}} \cdot \overline{\text{AM}} = \overline{\text{AO}} \cdot \overline{\text{AB}}$.\end{center}
\item Considérant le cas où I est le milieu de [OC], calculer alors en fonction de $R$ (rayon du cercle) la longueur AI, le rapport de similitude des triangles AIO et AMB, puis AM et MB.
\end{enumerate}
\end{document}