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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Madagascar}
\lfoot{\small juin 1967}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Madagascar juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(2x + 1)(x - 1)+(2x + 1)(x - 2)\: \text{ et}\\
B(x)&=&(3 - x) + 6x - 2x^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser ces expressions et simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ ; on appellera $E(x)$ la fraction simplifiée ainsi obtenue.
\item Calculer $E(x)$ pour $x = \sqrt 5 - 1$ (le résultat ne devra comporter que des nombres rationnels au dénominateur).
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $E(x) = 1$ ?
\item Construire le graphe des fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x - 3$\qquad  et \qquad $y_2 = - x + 3$.\end{center}
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de ces courbes ?

Comparer l'abscisse de ce point au résultat de la question 3.

Expliquer.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit, sur une même droite, et dans cet ordre, trois points A, B et C, tels que

\begin{center}AB $= \dfrac23$AC.\end{center}

On considère le cercle de diamètre [AB]. Une sécante issue de A coupe la perpendiculaire en C à (AC) en N et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère BMNC est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre, I.
\item En déduire la relation 
\[\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{AN}} = \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}}.\]

Calculer, en fonction de $R$, le produit $\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{AN}}$ ($R$ étant le rayon du cercle de diamètre [AB]).
\item Comparer les triangles ABN et AMC.
\item Dans le cas ou l'angle $\widehat{\text{CAN}} = 30\degres$, calculer en fonction de $R$ les longueurs AM, AN et MB.
\end{enumerate}
\end{document}