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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Madagascar}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Madagascar octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produit de facteurs l'expression
\[x^3 - 2x^2 + x.\]

En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles cette expression est nulle.
\item Simplifier l'expression

\[A = \dfrac{x - 1}{x^2} - \dfrac{x + 1}{x^3 - x^2} + \dfrac{3}{x^3 - 2x^2 + x}.\]

\item Calculer la valeur numérique de $A$ :
	\begin{enumerate}
		\item pour $x = 1$;
		\item pour $x = \dfrac14$ ;
		\item pour $x = 1- \sqrt 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On considère un angle droit $\widehat{x\text{O}y}$, une demi-droite O$z$ intérieure à cet angle et la demi-droite O$t$ symétrique de O$z$ par rapport à O$x$.
\[\widehat{x\text{O}z} = \widehat{x\text{O}t}.\]

Par un point M de O$z$, on trace deux droites : l'une, parallèle à O$t$, qui coupe O$x$ en A et O$y$ en B, l'autre, quelconque, qui coupe respectivement en P{}, Q, N les demi-droites O$x$, O$y$ et O$z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que [OM] est médiane du triangle rectangle AOB.
\item En déduire, à l'aide de triangles semblables convenablement choisis, l'égalité des rapports
\begin{center}$\dfrac{\text{PM}}{\text{PN}}$\quad et \quad $\dfrac{\text{QM}}{\text{QN}}$ \end{center}

\item On suppose maintenant que $\widehat{x\text{OM}} = 30\degres$ et (MN) perpendiculaire à O$z$.

On posera OM $= a$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle NOQ est isocèle.
		
En déduire la valeur du rapport $\dfrac{\text{PM}}{\text{PN}}$.
		\item Vérifier le résultat obtenu en calculant PM et PN en fonction de $a$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}