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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Madagascar}}
\rfoot{\small{septembre 1955}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Madagascar septembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère la fraction rationnelle

\[y = \dfrac{90 x}{(x + 5)^2}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Peut-on calculer $y$ pour toute valeur de $x$?

Comparer le signe de $y$ et celui de $x$.

Calculer les valeurs numériques $y_1$ et $y_2$ prises par la fraction pour $x_1 = 5$ et $x_2 = 10$.
\item O$x$ et O$y$ étant deux axes rectangulaires, on construit les points S et A dont les coordonnées sont respectivement $\left(x_1~;~y_1\right)$ et $\left(x_2~;~y_2\right)$, en prenant le centimètre pour unité.

La parallèle à O$x$ menée par A coupe OS en P, dont on demande de calculer l'abscisse.
\item Mettre sous forme du carré d'un binôme l'expression
\[(x + 5)^2 - 20 x.\]


\item Montrer que l'inégalité 
\[20x \leqslant (x + 5)^2\]
est vérifiée par toute  valeur de $x$.

En déduire la valeur maximum de la fraction $y$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur la diagonale [BD] d'un carré ABCD de $8$~cm de côté, on prend un point M dont les projections sur les côtés [AB] et [AD] sont désignées par P et R.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des triangles DRM et MPB ?

Comparer les triangles DRC et APD.

On désigne par H le point d'intersection des droites (DP) et (CR).

Démontrer que ces deux droites sont perpendiculaires.
\item On fixe le point M de manière que MD $= 3$MB.

Calculer la longueur du segment [RD], le sinus de l'angle $\widehat{\text{DRC}}$,
la longueur des segments [HD] et [HC].

Trouver le lieu géométrique du point I milieu de [PR], lorsque M décrit le segment de droite [BD].
\end{enumerate}
\end{document}