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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madagascar septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produits de facteurs les polynômes 
\begin{center}$9x^2 - 1$\qquad et\qquad  $9x^2 + 6x + 1$.\end{center}

\item Simplifier les expressions 

\begin{center}$A(x) = \dfrac{6x- 2}{9x^2 - 1}$ \qquad et \qquad 
$B(x) = \dfrac{9x + 3}{9x^2 + 6x + 1}$.\end{center}

\item Pour quelles valeurs de $x$ les expressions simplifiées seront-elles négatives ?
\item Déterminer la valeur numérique de $x$ pour laquelle les expressions A et (B + 1) prennent la même valeur numérique.

Vérifier.
\item Les expressions $A(x)$ et $B(x)$ peuvent-elles avoir la même valeur numérique ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit le triangle ABC, rectangle en A, dans lequel on donne

\begin{center}BC $= 7,5$ cm\qquad  et \qquad AB $= 6$ cm.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le construire, en justifiant la méthode employée,
\item Calculer la longueur du côté [AC].
\item On prend sur [AC] le point D et, sur le prolongement de [CA], le point F tel que 

AD = AF $= 2,4$~cm.

De F{}, on abaisse la perpendiculaire à (BC), qui coupe (BC) en H et (AB) en E.

Montrer que les triangles ABC, FHC et ADE sont semblables.

Calculer la valeur de AE.
\item Montrer que les quadrilatères CDEB et CAEH sont inscriptibles.

Soit K le deuxième point d'intersection de (FH) avec le cercle circonscrit au quadrilatère CDEB ; montrer que
\begin{center}FA $\cdot$ FC = FE $\cdot$ FH\end{center} 
et que 
\begin{center}FD $\cdot$ FC = FE $\cdot$ FK.\end{center}

En déduire que H est le milieu de [FK].
\end{enumerate}
\end{document}