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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madagascar septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction
\[F(x) = \dfrac{8x^2 - 24x + 18}{4x^2 - 9},\]
où $x$ désigne un nombre réel.

Après avoir déterminé les valeurs de $x$ pour lesquelles
cette fraction n'est pas définie, la simplifier.
\item Soit la fraction
\[G(x) = \dfrac{4x - 6}{2x + 3}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer son ensemble de définition, $\mathcal{D}$, puis calculer sa valeur numérique pour $x = \dfrac32$.
		\item Déterminer, s'il existe, le nombre $x$, à dénominateur rationnel, tel que
\[G (x) = \sqrt 2.\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation
\[(4x - 6)(2x + 3) = 4x^2 + 12x + 9.\]
		\item Déterminer $x$ pour que la valeur absolue de la différence des deux binômes $4x - 6$ et $2x + 3$ soit égale à 3.
	\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé (unité : 0,5~cm), représenter le graphe de la fonction qui à $x$ fait correspondre $y= 4x - 6$ et celui de la fonction qui à $x$ fait correspondre $y = 2x + 3$.

Déterminer l'abscisse $x_0$ du point d'intersection, I,
de ces deux droites.

Pour cette valeur de $x$, comment peut-on trouver
la valeur de $G\left(x_0\right)$, sans la calculer et sans utiliser le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un demi-cercle de diamètre AB $= 2R$ et de centre O.

La perpendiculaire en O à AB rencontre le demi-cercle en C.

Soit N le milieu du rayon [OC].

(AN) rencontre le demi-cercle en M ; la droite (AN) et la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{COM}}$ se coupent en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure, en degrés, de l'angle $\widehat{\text{CAM}}$, puis montrer que les droites (AM) et (CI) sont perpendiculaires.
\item Comparer les triangles AON et AMB.

Calculer AN en fonction de $R$ ; en déduire le rapport de similitude des deux triangles, puis calculer AM et MB en fonction de $R$.
\item Montrer que (CI) passe par le milieu, D, de [OB].

Évaluer le rapport $\dfrac{\text{IM}}{\text{IA}}$ ; en déduire la valeur de la tangente de l'angle $\widehat{\text{CAM}}$.
\end{enumerate}
\end{document}