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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Madagascar}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Madagascar~\decofourright\\[7pt] septembre 1971}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip





et


On donne l'expression algébrique suivante: 
\[A(x) = (2x + 5)^2 + (8x + 20) + 4x^2 - 25.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire cette expression sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné, puis sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A(x) = 0$ ?
\item On donne l'expression algébrique suivante : 
\[B = (5x + 4)^2 - (3x - 1)^2.\]

Écrire cette expression sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.

Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction simplifiée prend-elle la valeur $1$ ?
\item Construire, dans un repère orthonormé $x'\text{O}x,~ y'\text{O}y$, les droites $(D)$ et $(D')$, qui représentent les variations des fonctions définies par

\[\begin{array}{l l c r}
x&\longmapsto&f(x) = y = 4x + 4,\:\text{et}\\
x&\longmapsto&g(x) = y' = 8x + 3.
\end{array}\]

Retrouver à l'aide du graphique le résultat numérique de la question 4.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Soit un cercle de centre O et de rayon $R$ et deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD] de ce cercle.

Soit M un point de l'arc $\wideparen{\text{AC}}$. La droite (MD) rencontre (AB) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère (EMCO) est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre et le diamètre.

En déduire que
\[\overline{\text{DE}} \cdot \overline{\text{DM}} = 2 R^2.\]
\item Que représente (MD) pour l'angle $\widehat{\text{AMB}}$ ?

En déduire que 
\[\dfrac{\text{EA}}{\text{EB}} = \dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}.\]

\item Comparer les triangles (MAE) et (MDB) et montrer que 
\begin{center}MA $\cdot$ MB = ME $\cdot$ MD.\end{center}
\item Démontrer que EM $\cdot$ ED $= \left|\text{EO}^2 - R^2\right|$.
\item Dans le cas où EO $= \dfrac{R}{2}$, calculer EC, ED, EM
et DM.
\end{enumerate}
\end{document}