\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Madagascar juin 2005},
allbordercolors = white}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 2005}}
\lfoot{\small{Madagascar}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{Brevet des collèges Madagascar Océan Indien\\[5pt] juin 2005}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les questions $1$, $2$ et $3$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne A $= \dfrac{\dfrac{3}{4} - 3}{\dfrac{1}{2} +2}$. 

Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible ; on fera apparaître les étapes du calcul.

\medskip

\item On donne B $= \dfrac{1,5 \times 10^{-3}}{3\times10^2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture décimale de B.
		\item Exprimer B en écriture scientifique.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne C $= \sqrt{180} - 2\sqrt{80}$.
		
Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et $b$ le plus petit possible.
		\item Soit D $= \dfrac{5\sqrt{12}}{2\sqrt{3}}$.
		
 Montrer que D est un nombre entier, en faisant apparaître les étapes du calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression :

\[M  = (3x + 5)^2 - (3x + 5)(2x + 7).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $M$.
\item Factoriser $M$.
\item Calculer $M$ pour $x = 2$, puis pour $x = 0$.
\item Résoudre l'équation $M = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une course a été organisée pour les élèves de Troisième (40 garçons et 50 filles) d'un collège. Les résultats sont donnés dans les tableaux suivants.

Résultats des garçons

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps de parcours &de 10 à  15 min&de 15 à 20 min& de 20 à 25 min&de 25 à 30 min& de 30 à 35 min\\ \hline
Effectifs 	&8		&14		&9		&6		&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Résultats des filles

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps de parcours &\small	de 10 à  15 min&\small	de 15 à 20 min&	\small de 20 à 25 min&\small de 25 à 30 min&\small de 30 à 35 min\\ \hline
Effectifs	&7	&8	&12	&11	& 12\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le temps de parcours moyen des garçons est 20,25 minutes (c'est-à-dire 20 minutes 15 secondes).
		\item Calculer celui des filles.
	\end{enumerate}
\item Construire un diagramme en barres qui représente les résultats contenus dans les deux tableaux précédents.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de garçons ayant effectué un temps compris entre 15 et 30 minutes pour cette course. 
		\item Calculer le pourcentage de filles ayant effectué un temps compris entre 15 et 30 minutes pour cette course. 
		\item Calculer le pourcentage d'élèves ayant effectué un temps compris entre 15 et 30 minutes pour cette course (arrondir au dixième).
	\end{enumerate}
\item Entre le groupe des garçons et celui des filles, lequel vous paraît le plus homogène ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I, J), on considère les points A$(- 2~;~- 1)$ et B(4~;~3). On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [AB] et M le centre de $\mathcal{C}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner la figure.
\item Calculer les coordonnées de M. 
\item Calculer le rayon du cercle $\mathcal{C}$ (on donnera la valeur exacte).
\item Soit F le point de coordonnées (3 ; 4). Démontrer que F est un point du cercle $\mathcal{C}$.
\item Que peut-on dire du triangle AFB ?
\item On précise que FA $= \sqrt{50}$ et FB $= \sqrt{2}$.

Calculer l'arrondi au degré de l'angle $\widehat{\text{FAB}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure suivante, SABCD est une pyramide à base rectangulaire, de hauteur [SH], où H est le centre du rectangle ABCD.

On donne : AB = 8 cm, BC = 6 cm et SH = 12 cm.
 
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(8,6)
\psline(0.2,1.3)(5,0.5)(7.1,1.3)(2.35,2.1)(0.2,1.3)(3.8,5.7)(7.1,1.3)(0.2,1.3)%ABCDASCA
\psline(3.8,5.7)(2.6,4.2)(4.2,4)(4.9,4.3)(3.3,4.5)(3.8,5.7)%SA'B'C'D'S
\psline(4.2,4)(3.8,5.7)
\psline(3.3,4.5)(2.35,2.1)%D'D
\psline(3.8,5.7)(5,0.5)%SB
\psline(5,0.5)(2.35,2.1)%BD
\psline(3.8,5.7)(3.7,1.3)%SH
\psline(3.3,4.5)(2.6,4.2)%D'A'
\uput[u](3.8,5.7){S} \uput[l](0.2,1.3){A} \uput[dr](5,0.5){B} \uput[r](7.1,1.3){C} \uput[ul](2.4,2.1){D}
\uput[d](3.6,1.4){H}
\uput[l](2.6,4.2){A$'$} \uput[dr](4.2,4){B$'$} \uput[r](4.9,4.3){C$'$} \uput[ul](3.45,4.5){D$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer AC ; en déduire AH.
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item Démontrer que SA = 13 cm. On note A$'$ le point de [SA] tel que SA$'$ = 3,25 cm. On coupe la pyramide par le plan parallèle à la base et passant par A$'$. On obtient une petite pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer le coefficient de réduction de SA$'$B$'$C$'$D$'$ par rapport à SABCD. 
		\item En déduire les longueurs A$'$B$'$ et B$'$C$'$ puis le volume de SA$'$B$'$C$'$D$'$.
	\end{enumerate}
\item Où aurait-il fallu placer A$'$ pour obtenir une pyramide dont le volume est huit fois plus petit que celui de la pyramide SABCD ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Un vidéo-club propose différents tarifs pour l'emprunt de DVD.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Tarif A : 4 euros par DVD emprunté.
\item[$\bullet~$]  Tarif B : 2,50 euros par DVD emprunté, après avoir payé un abonnement de 18 euros.
\item[$\bullet~$]  Tarif C : abonnement de 70 euros pour un nombre illimité de DVD.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant indiquant le prix à payer pour 5 ou 15 ou 25 OVO, aux tarifs  A, B ou C.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{l|}{}&	5 DVD&	15 DVD&	25 DVD\\ \hline
Coût au  tarif A& & &\\ \hline
Coût au tarif B& & &\\ \hline
Coût au tarif C& & &\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note $x$ le nombre de DVD empruntés.

\medskip

\item On admet que les trois tarifs peuvent être exprimés à l'aide des fonctions suivantes : 

$f : x \longmapsto  2,5x+ 18$

$g : x \longmapsto 70$
 
$h : x \longmapsto 4x$. 
 
\begin{enumerate}
\item Associer à chaque tarif la fonction qui lui correspond. 
\item Tracer dans un même repère les représentations graphiques de ces trois fonctions. On prendra en abscisse 1 cm pour 2 DVD et en ordonnée 1 cm pour 5 euros.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation : $4x = 2,5x + 18$. 
		\item Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Résoudre graphiquement l'inéquation : 
		
		$70 \leqslant 2,5x + 18$. 
		\item Retrouver ensuite le résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Synthèse

 Donner le tarif le plus intéressant selon le nombre de DVD empruntés.
\end{enumerate}
\end{document} 