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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Madrid}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Madrid juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression algébrique 
\[F = \left(x^2 + 2x - 6\right)^2 - \left(x^2 - 2x - 2\right)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $F$ en produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre l'équation $F = 0$.
\item On donne l'expression $G = x^3 + x^2 - 4x - 4$.

Décomposer $G$ en produit de facteurs du premier degré.
\item Simplifier la fraction rationnelle $y = \dfrac FG$.
\item Trouver pour quelle valeur de $x$ cette fraction
est égale à 4.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle isocèle ABC (AB = AC).

Un angle $\widehat{\text{XOY}}$ égal aux angles en B et C du triangle tourne autour de son sommet O, milieu de [BC].

[OX) coupe [AB] en M, [OY) coupe [AC] en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles OMB et OPC sont semblables.
\item En déduire que
\begin{center}$\overline{\text{OB}}^2 =$ BM $\times$ CP.\end{center}
\item Montrer que le triangle OMP est semblable aux triangles OMB et OPC.
\item En déduire que (OM) et (OP) sont bissectrices des angles $\widehat{\text{BMP}}$ et $\widehat{\text{MPC}}$ et que (MP) reste tangente à un cercle fixe quand l'angle $\widehat{\text{XOY}}$ tourne autour de O.
\end{enumerate}
\end{document}