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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madrid juin 1955~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A, dans lequel AB $= 4$ cm, AC $= 3$ cm.

Soit M un point de l'hypoténuse [BC] ; on le projette en P sur (AB), en Q sur (AC).

On pose AP $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$, le périmètre $y$ du rectangle APMQ.
\item Représenter graphiquement les variations de $y$ quand M décrit le segment [BC].
\item Calculer $x$ pour que le périmètre du rectangle soit égal à $7$~cm, à $12$~cm.
\item On mène par P la parallèle à (BC) ; elle coupe (AC) en S.

Calculer BC, puis le périmètre $Z$ du parallélogramme PMCS.
\item Représenter graphiquement les variations de $Z$ quand M décrit le segment [BC].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne un cercle $(\mathcal{C})$ de centre O, de rayon $R$ et une droite $(D)$ extérieure à $(\mathcal{C})$.

D'un point quelconque M de (D) on mène les tangentes MA et MB au cercle $(\mathcal{C})$.

On appelle K le pied de la perpendiculaire menée de O sur $(D)$, H et I les points d'intersection
de (AB) avec (OM) et (OK).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles OHI et OMK.

En déduire une relation entre OI, OH, OM et OK.
\item Montrer que $\text{OH} \times \text{OM} = R^2$.
\item Montrer que I reste fixe quand M décrit la droite $(D)$.
\item Lieu du point H quand M décrit la droite $(D)$.
\item Soit A$'$ le point diamétralement opposé à A sur le cercle $(\mathcal{C})$.

Montrer que (A$'$B) est parallèle à (OM).
\end{enumerate}
\end{document}