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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Madrid}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Madrid}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression

\[A = (x - 5)^2 + (2x - 10)(x + 3) - x^2 + 25.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $A$ et calculer sa valeur numérique pour $x = \dfrac12$.
\item Mettre $A$ sous forme d'un produit de facteurs.
\item Résoudre l'équation $A = 0$.
\item Simplifier l'expression

\[B = \frac{A}{2x^2 - 8x + 8.}\]

\item Les équations $A = 0$ et $B = 0$ ont-elles les mêmes racines ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un angle droit $\widehat{\text{XOY}}$ et, sur la bissectrice [OZ) de cet angle, on porte une longueur OA $= a$.

Un cercle $\mathcal{C}$ variable passe par les deux points fixes O et A, coupe OX en M et OY en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que MAP est un triangle rectangle isocèle.
\item On projette A en I sur (MP), en B sur OX, en C sur OY.

Quel est le lieu du point I quand M et P varient sur OX et OY ?
\item Soit Q le point diamétralement opposé à A sur le cercle $\mathcal{C}$.

Quel est le lieu du point Q ?
\item Comparer les segments [BM] et [CP].

Montrer que la somme OM + OP est constante.

Calculer sa valeur en fonction de $a$.
\item Montrer que l'aire du quadrilatère OPAM est constante.
\end{enumerate}
\end{document}