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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Madrid}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Madrid juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression algébrique
\[E = \left(x^2 - 9\right)^2 - (x + 3)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner $E$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Présenter $E$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré en $x$, puis résoudre l'équation $E = 0$, où $x$ est l'inconnue.
\item Calculer $E$, puis $\dfrac 1E$ pour $x = -\sqrt 5$ (exprimer les résultats sans nombre irrationnel au dénominateur).
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. .B. -} Les trois questions sont indépendantes l'une de l'autre.}


\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O et de rayon $R$ et deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

On prend un point M variable sur le quadrant $\widearc{\text{AC}}$ et l'on mène la corde [MP] perpendiculaire à (CD) et la corde [MQ] perpendiculaire à (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les trois points Q, O, P sont alignés.
\item Démontrer que, M se déplaçant sur l'arc $\widearc{\text{AC}}$, la 
somme $\overline{\text{MP}}^2 + \overline{\text{MQ}}^2$ reste constante.
\item Prouver que les bissectrices intérieures des angles $\widehat{\text{P}}$ et $\widehat{\text{Q}}$ du triangle MPQ passent chacune par un point fixe et forment un angle constant.

En déduire la courbe sur laquelle se déplace le centre du cercle inscrit au triangle MPQ lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{AC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}