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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madrid juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On désigne par $y$ et $z$ les mesures, en centimètres, des deux côtés d'un rectangle et par $x$ son demi-périmètre.

Si l'on augmente $y$ de 2 cm et $z$ de 3 cm, l'aire du rectangle augmente de $36$ cm$^2$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $y$ et $z$ s'expriment en fonction de $x$ par les relations
\[\begin{array}{l c l}
y &=& 30 - 2x,\\
z &=& 3x - 30.
\end{array}\]

\item Entre quelles limites doit-on choisir $x$ pour que le rectangle existe?
\item Représenter sur un même graphique les variations de $y$ et de $z$ en fonction de $x$ quand $x$ varie dans les limites établies au 2.
\item Pour quelle valeur de $x$ le rectangle est-il un carré ?

Quelle est alors la valeur de $y$ et de $z$ ?

Interpréter ce résultat sur le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O de rayon $R$.

La médiatrice d'un rayon [OB] coupe le cercle en A et C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la figure OABC ?
\item Soit D le point diamétralement opposé à B sur le cercle.

(DA) coupe (CB) en E, (DC) coupe (AB) en F. Quels sont les milieux de [D] et de [DF] ?

Calculer en fonction de $R$ les longueurs BE et DE.
\item Quelles sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle $\widehat{\text{DAC}}$ ?

La bissectrice extérieure coupe (DB) en H.

Quelles sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle $\widehat{\text{CAH}}$ ?
\item Montrer que H est sur (EF).

Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère ACFE.
\end{enumerate}
\end{document}