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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Madrid}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Madrid juin 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression
\[E(x)  = \dfrac{3x^2 - 4}{4 - x^2} + \dfrac{4}{2 - x} - \dfrac{2}{2 + x}\]

et montrer que, toutes simplifications effectuées, elle peut se mettre sous la forme 
\[E(x)  =\dfrac{3x}{2 - x}.\]
\item On pose $y_1 = 3x$ et $y_2 = 2 - x$.

Tracer sur un même graphique les droites qui représentent les fonctions précédentes, l'unité de longueur imposée sur les deux axes étant 2 centimètres. 

Trouver à l'aide du graphique, la valeur de $x$ pour laquelle l'expression simplifiée $E(x)$ prend la valeur 1.
\item On trace, par rapport aux mêmes axes, la droite représentative de la fonction 

$y_3 = - \dfrac x3$.

Cette droite, $(L)$, coupe en B la droite représentative de $y_2 = 2 - x$.

On appelle A le point d'intersection des droites représentatives des fonctions $y_1$ et $y_2$.

Calculer les coordonnées du point B.

Montrer que le triangle OAB est rectangle en O ; calculer ses côtés, son aire et donner la valeur de son aire en centimètres carrés.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et sa tangente en B.

Une droite passant par A coupe le cercle en M et la tangente en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles AMB et MBC.

Montrer que AC $\cdot$ AM $= 4R^2$.
\item On suppose que l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ vaut $45\degres$.

Calculer CM en fonction de $R$.

Même calcul dans le cas où l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ vaut $60\degres$.
\item On trace le cercle de diamètre [AO].

La droite (AM) recoupe ce cercle en M$'$.

Montrer que (BM) et (OM$'$) sont parallèles, ainsi que les rayons [OM] et [O$'$M$'$].

Calculer la valeur constante des rapports 
\begin{center}$\dfrac{\text{BM}}{\text{OM}'}$\quad et \quad $\dfrac{\text{OM}}{\text{O}'\text{M}'}$ \end{center}
\end{enumerate}
\end{document}