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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Madrid}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Madrid\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression

\[y = (2x - 3)^2- (3x + 2)(x - 5) - (x - 1)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer le deuxième membre de cette expression.
\item Résoudre l'équation obtenue en donnant à $y$ la valeur $3$.
\item Représenter graphiquement la variation de $y$ en fonction de $x$.

On obtient une droite $(D)$.
\item Quelle est l'abscisse du point de $(D)$ qui a pour ordonnée $3$ ?
\item Résoudre l'équation obtenue en donnant à $y$ la valeur
\[y= - x + 8.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle équilatéral ABC.

Un angle $\widehat{\text{XOY}} = 60\degres$ tourne autour de son sommet O, milieu de [BC], de telle sorte que (OX) coupe (AB) en M et (OY) coupe (AC) en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles OBM et OCN sont semblables.
\item Établir la relation 
\begin{center}OB$^2 = $ BM $\times$ CN.\end{center}
\item Montrer que le triangle OMN est semblable aux triangles OBM et OCN.

En déduire le rôle des droites (OM) et (ON) pour les angles $\widehat{\text{BMN}}$ et $\widehat{\text{MNC}}$.
\item Montrer que la hauteur du triangle OMN a une longueur constante et que (MN) reste tangente à un cercle fixe.
\item Calculer le rayon de ce cercle, sachant que [BC] mesure $12$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}