\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Maroc juin 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Maroc}}
\rfoot{\small{juin 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Maroc juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère un polynôme dont le quotient par $5x$ est égal à $x^2 + 7x - 8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'expression de ce polynôme ?

(On peut continuer sans avoir traité cette question.)
\item Développer le produit $(x - 1) (x + 8)$.
\item Décomposer en produit de facteurs les deux polynômes

\[5x^3 +35x^2 - 40x, \qquad 4x^2 - 4x.\]
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[\dfrac{5x^3 +35x^2 - 40x}{4x^2 - 4x - 4x(x - 1)^2}.\]
\item Quelle est la valeur de cette fraction: 
	\begin{enumerate}
		\item quand on remplace $x$ par $- 8$ ? ;
		\item quand on remplace $x$ par 8 ?
	\end{enumerate}	
\item Pour quelle valeur de $x$ cette fraction est-elle égale à $x + 2$ ?
\item Résoudre graphiquement la question 6.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne un triangle isocèle ABC (AB = AC) et l'on désigne par O le milieu de [BC].

Un cercle $\mathcal{C}$ tangent en O à BC coupe la droite (AB) en D et D$'$ (BD$' <$ BD) et la droite (AC) en E$'$ et E (CE $<$ CE$'$).


\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer CE et BD$'$.
\item Montrer que
\begin{center}BD $\cdot$ CE = BO$^2$.\end{center}

\item Montrer que les triangles BDO et COE sont semblables.

Marquer clairement sur la figure les angles égaux.
\item Comparer les angles $\widehat{\text{DOE}}$ et $\widehat{\text{ABC}}$, puis le triangles DOE et DBO.
\item Que représentent (DO) et (EO) pour le triangle ADE ?
\item On trace le cercle de centre O tangent à (AB).

Indiquer la construction.
\item On fait varier le cercle, donné au début, tangent à (BC).

Montrer que la droite (DE) varie en restant tangente à une courbe fixe, que l'on indiquera.
\end{enumerate}
\end{document}