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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Maroc}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Maroc juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs l'expression
\[(2x - 3) (x - 5)  - (2x - 3)^2 + 4x^2 - 9.\]

\item Simplifier la fraction .
\[A = \dfrac{(2x - 3) (x - 5)  - (2x - 3)^2 + 4x^2 - 9}{x^2 + 2x + 1}.\]

Pour quelle valeur de $x$ la fraction simplifiée n'est-elle pas égale à la fraction $A$ ?
\item Déterminer $x$ pour que $A = 1$.
\item On trace sur le même graphique les droites d'équation 
\begin{center}$y = 2x - 3$,\qquad  $y= x + 1$.\end{center}

Déterminer graphiquement et par le calcul les coordonnées de leur point de rencontre.

Comparer le résultat obtenu à celui de la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soit un triangle ABC tel que AB $= 12$~cm, BC $= 18$~cm, CA $= 24$~cm.

À l'extérieur du triangle ABC on construit un triangle ABD tel que BD $= 16$~cm et DA $= 8$~cm, puis un triangle BCE tel que BE $= 36$~cm et EC $= 27$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABC, DAB et BCE sont semblables.

Indiquez nettement sur la figure les angles égaux.

Rapport de similitude des triangles pris deux à deux.
\item Montrer que les points D, E, B sont alignés et que le quadrilatère DACE est inscriptible.
\item Le cercle circonscrit au quadrilatère DACE recoupe (AB) en M et (BC) en N.

Calculer BM, BN et MN.
\item (DA) et (CE) se coupent en I.

Quelle est la nature du quadrilatère AICB ?

On mène par I une tangente (IT) au cercle passant par D, A, C, E.

Calculer, au mm près, la longueur du segment [IT].
\end{enumerate}
\end{document}