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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Maroc }}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Maroc juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier l'identité
\[(a + b - c)(a + b + c) = (a + b)^2 - c^2.\]

Utiliser cette identité pour calculer le plus simplement possible .

\[\left(\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5\right)\left(\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5\right).\]
30
\item Mettre sous forme de produit de facteurs les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A&=& (3x + 5)^2 - 16,\\
B&=& (x + 3)(2x - 1)- (x + 3)^2 - (x + 3).
\end{array}\]

\item Résoudre les équations 
\[A=0,\qquad B = 0.\]
\item On donne l'expression
\[\dfrac 1B - \dfrac 1A.\]

Indiquer les valeurs de $x$ pour lesquelles cette expression n'a pas de sens.

Ces valeurs étant exclues, mettre l'expression sous la forme la plus simple possible.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ d'un triangle ABC coupe en I le côté [BC].

Il se trouve que, dans le triangle considéré, les longueurs des côtés [AB], [BC] et [IB] vérifient la relation 
\begin{center}AB$^2 =$ BI $\times$ BC.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABI et ABC sont semblables.

Indiquer les angles égaux et former le rapport de similitude.
\item En précisant la nature du triangle AIC, montrer que le cercle circonscrit au triangle AIC admet (AB) comme tangente en A.
\item Le cercle circonscrit au triangle ABI recoupe en D le côté [AC].

Montrer que les triangles BDC et AIC sont semblables ; former le rapport de similitude.
\item Comparer AB et BD.

Déduire de ce résultat et des précédents la relation .
\begin{center}AB $\times$ AC = BC$^2 -$ AB$^2$.\end{center}
\item Dans le cas particulier où l'angle $\widehat{\text{BCA}}$ vaut $30\degres$, évaluer les rapports de similitude des triangles considérés aux questions 1. et 3.
\end{enumerate}
\end{document}