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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Maroc juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\textbf{I}

\smallskip

Décomposer en produits de facteurs les deux expressions

$x^2 +y^2 + 2xy - 18a^2 + 12ab - 2b^2,$

$ab\left(x^2 + y^2\right) + xy\left(a^2 + b^2\right)$.

\smallskip

\textbf{II}

\smallskip

Résoudre l'équation

\[x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0.\]

\smallskip

\textbf{III}

\smallskip

Résoudre, le plus simplement possible, le système suivant:
\[\left\{\begin{array}{r c r}
2x + \phantom{2}y + \phantom{2}z &=& 1,\\
\phantom{2}x + 2y + \phantom{2}z &=& 3,\\
\phantom{2}x + \phantom{2}y+ 2z  &=& 8.
\end{array}\right.\]

\smallskip

\textbf{IV}

\smallskip

Le nombre $m$ étant un paramètre (c'est-à-dire
un nombre anonyme considéré comme connu), l'équation $(2x- y) + m(x + y- 3) = 0$
représente une droite, lorsque le plan est rapporté à deux axes O$x$ et O$y$.

\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $m$ cette droite passe-t-elle par le point $(- 1~;~1)$ ?
\item Pour quelle valeur de $m$ cette droite est-elle parallèle à la droite d'équation $y = 3x - 457$ ?
\item Si $m$ reste anonyme, l'équation représente une infinité de droites. 

Montrer que toutes ces droites passent par un même point fixe, que l'on déterminera.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

\textbf{I}

On donne un cercle de centre O, un point A sur ce cercle, la tangente en A, un point O$'$ fixe sur cette tangente.

On construit le cercle de centre O$'$ qui passe par A et coupe le premier cercle en un deuxième point, B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire de la tangente en A au cercle (O$'$) ?
\item La tangente en A à (O) coupe le cercle (O$'$) en M$'$ ; la tangente en A à (O$'$) coupe le cercle (O) en M.

Montrer que les points M, B, M$'$ sont alignés.

Montrer que l'on a 
\begin{center}BA$^2 =$ BM $\times$ BM$'$.\end{center}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{II}

On donne deux cercles qui se coupent en A et B. La tangente en A à l'un d'eux coupe l'autre en M ; la tangente en A au second coupe le premier en M$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles AMB et AM$'$B.
\item Trouver une relation entre les longueurs AB,
BM et BM$'$.
\item Que peut-on dire de la droite (AB) pour l'angle
$\widehat{\text{MBM}'}$ ?
\item Le problème est-il différent, au fond, du problème I ?
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{III}

On donne un triangle BMM$'$. Sur la demi-droite  opposée à la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{B}}$ on prend un point A tel que
\begin{center}BA$^2 = $ BM $\times$ BM$'$.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.5)(4,0.5)(1.6,1.7)%MM'B
\uput[dl](0.3,0.5){M} \uput[dr](4,0.5){M$'$} \uput[ur](1.6,1.7){B} \uput[ur](1.38,3.4){A} 
\psline(1.8,0)(1.38,3.4)
\psarc(1.6,1.7){0.5}{-82}{-24} 
\psarc(1.6,1.7){0.4}{-140}{-82} 
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Trouver une propriété simple des cercles conscrits aux triangles AMB et AM$'$B.
\item Quelle est la relation entre les problèmes II et  III ?
\end{enumerate}
\end{document}