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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Maroc}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Maroc juin 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\begin{center}\textbf{\large ALGÈBRE}\end{center}

\begin{center}\textbf{\large I}\end{center}

Le périmètre d'un rectangle est $240$~m.

Soient $x$ et $y$ les mesures respectives, en mètres, de la longueur et de la largeur ; calculer $x$ et $y$, sachant que l'on a $\dfrac{x}{y}= \dfrac75$.

\begin{center}\textbf{\large II}\end{center}

Dans le plan rapporté à deux axes rectangulaires (sur chaque axe l'unité de longueur est le centimètre) on donne le point A, de coordonnées (7~;~5).

Soient B et C les projections orthogonales de A sur les axes $x'x$ et $y'y$,

\begin{enumerate}
\item Quel est le périmètre du rectangle OBAC ?
\item Soit un point D de coordonnées positives, $x$ et $y$, projeté orthogonalement en H sur O$x$ et en K sur O$y$.

Établir la relation entre $x$ et $y$ pour que les rectangle OHDK et OBAC aient même périmètre.
\item Exprimer $y$ en fonction de $x$.

Représenter graphiquement cette fonction de $x$ en restant dans le conditions du problème.

Comment A se place-t-il par rapport au graphe obtenu ?
\item Pour quelle valeur de $x$ le rectangle OHDK est-il un carré ?

Donner une solution algébrique et une solution graphique.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{\large GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O et de rayon $R$ et un diamètre, [AB].

Soient TT$'$ la tangente en B à ce cercle et P le milieu de [OB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Q étant sur le prolongement de [AB], au-delà de B, calculer AQ en fonction de $R$, sachant que 
\begin{center}AP $ \times \:$AQ $= 4R^2$.\end{center}
\item On mène par A une sécante, coupant le cercle en M et la demi-droite [BT) en N ; une deuxième sécante,
AM$'$N$'$, coupe le cercle en M$'$ et la demi-droite BT$'$ en N$'$.

Démontrer que l'on a
\begin{center}AM $ \times $ AN = AM$' \times \:$AN$' =  4R^2$.\end{center}
après avoir précisé la nature de [BM) dans le triangle ABM.
\item En déduire la similitude des triangles AMM$'$' et ANN$'$.
\item Montrer que le quadrilatère MM$'$NN$'$N est inscriptible.
\item Soit [PI] un segment perpendiculaire au plan du cercle.

Calculer PI en fonction de $R$ pour que le triangle AIB soit rectangle.
\end{enumerate}
\end{document}