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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1965}
\rfoot{\small Maroc }
\lfoot{\small juin 1965}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Maroc  juin 1965 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

\textbf{I}

\medskip

On donne l'équation
\[\left(x - \sqrt 2\right)(x + 2) = \left(7 - \sqrt 2\right)(x + 2).\]

\emph{Sans aucun calcul}, donner les valeurs des deux racines de cette équation.

\medskip

\textbf{II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que
\[(a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right) =  a^3 - b^3.\]

\item On donne le polynôme
\[(1)\quad \quad A(x) = 8x^3 - 8x^2 +21x - 18.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $A(x)$ s'annule pour $x = 2$.
		\item On remplace $x$ par 2 et l'on obtient (sans effectuer les calculs)

\[(2)\quad \quad  0 =2^3 - (8\times 2^2) + (21 \times 2) - 18.\]

Toujours sans effectuer, écrire la différence (1) - (2), rapprochant les termes de même rang $x^3$ et $2^3$,
$8x^2$ et $8 \times 2^2$, puis $21x$ et $21 \times 2$.

Déduire de ce calcul une nouvelle expression de $A(x)$. 
On remarquera que $A(x) - 0 = A(x)$). 

Factoriser alors $A(x)$.
		\item Résoudre l'équation $A(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III}

\medskip

Simplifier le plus rapidement possible

\[\dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 4} - \dfrac{x}{2x + 4} + \dfrac{x - 1}{x - 2}.\]

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle isocèle ABC de base [BC] telle que BC $= 32$ cm et [AH] la hauteur issue de A ; AH $= 12$~cm.

Soit D un point du côté [BC], tel que BD $= 7$~cm, et E
un point du côté [BA], tel que 

BE $= 11,2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AC.
\item Comparer les triangles BDE et BAC.
\item Démontrer que le quadrilatère ACDE est inscriptible.
\end{enumerate}
\end{document}