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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Maroc }
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Maroc juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soit la fonction polynôme de $\R$ vers $\R$ définie par :
\[f(x) = 4x^2 - 9 - (3 - x)(4x + 6).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Factoriser $f(x)$ en produit de facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}	
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie de $\R$ vers $\R$ par: 
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{(4x - 9)(2 - x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Chercher l'ensemble de définition de $h$.
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Résoudre l'équation $h(x) = 1$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
- 2x + y - 3&=&0\\
\phantom{-2}x + y - 2&=&0
\end{array}\right.\]
\item Représenter graphiquement les fonctions $a$ et $b$, définies de $\R$ vers $\R$ par 
\[\left\{\begin{array}{l  c l r}
a(x) &=& 2x + 3\quad &(\text{droite}\:D_1)\\
b(x) &=& - x + 2\quad &(\text{droite}\:D_2)\\
\end{array}\right.\]

Cherchez les coordonnées du point d'intersection M des droites $(D_1)$ et $(D_2)$.
\item Comparer et commenter les résultats des questions : 2. c.,  3. et 4.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} placer les points A, B, C, D tels que:
\[\vect{\text{OA}}=-2\vect{\imath} + \vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OB}}=-3\vect{\imath} -2\vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OC}}=\vect{\imath}\:;\quad \vect{\text{OD}}=2\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Déterminer les coordonnées du point I tel que $\vect{\text{BI}} = \dfrac13\vect{\text{BD}}$.
\item Démontrer que la droite (AI) est la médiatrice du segment [BC].
\item Soit D$'$ le symétrique du point D par rapport au point C.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de D$'$.
		\item Démontrer que les points A, I, D$'$ sont alignés.
		\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, D$'$, C) ? 
		
En déduire que les quatre points A, B, D$'$, C sont situés sur un même cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre E et le rayon $R$.
	\end{enumerate}
\item Soit F$(-2~;~-3)$. Démontrer que F appartient à $\mathcal{C}$ et donner une équation cartésienne de la tangente en F au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}