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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Maroc}
\lfoot{\small juin 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Maroc  juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ telles que
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(x +3)^2  - (2x - 7)^2,\\
g(x)&=&(2x - 3)(2x - 1)- (3 - 2x)(x - 3).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs.
\item Déterminer les éléments des ensemble 
\[\begin{array}{l c l}A &=&\{x/x \in \Z,\: f(x) = 0\},\\
B&=&\{x/ x \in \R, \:  g(x) = 0\}.
\end{array}\]
\item On considère la fonction $p$ ainsi définie
\[\begin{array}{l l c l}
p :&\R&\to &\R\\
&x &\mapsto&p(x) =\dfrac{f(x)}{g(x)}
\end{array}\]
$p$ est-elle une application de $\R$ dans $\R$ ?

Quel est son ensemble de définition $E$?

Simplifier $p(x)$. Résoudre dans $\R$,
\[p(x) = 0,\qquad p(x) = 1.\]

\item Résoudre graphiquement le système d'équations
\[\left\{\begin{array}{l c l}
3y + 3x - 30&=&0,\\
2y -4x + 6&=&0.
\end{array}\right.\]
\item Soit les ensembles
\[\begin{array}{l c l}
E &=&\{x/x \in \Z,\: 10 - x > 0\},\\
G&=&\{x/x \in \Z,\: 2x - 3 > 0\}
\end{array}\]

Donner $E \cap G$ en extension.

Que peut-on dire de $p(x)$ quand $x \in E \cap G$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C définis par leurs coordonnées

\begin{center}A$(2~;~-1)$,\qquad B(6~;~4),\qquad  C$(-2~;~-6)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer les vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$.
		\item Démontrer que les points A, B et C sont alignés.
	\end{enumerate}	
\item Déterminer les coordonnées du milieu M du bipoint (B, C). Que constatez-vous ? 

Déterminer les coordonnées du point D symétrique de O par rapport à M.

Quelle est la nature du quadruplet (B, D, C, O) ? Justifier.
\item Soit I la projection orthogonale de O sur CD.

Trouver l'équation de la droite (OI).

Déterminer les coordonnées du point I.
\item Déterminer le centre E du cercle $\mathcal{C}$ passant par les points O, I et C. 

Déterminer son rayon $R$. 

Trouver l'équation de la tangente en O au cercle $\mathcal{C}$.




\end{enumerate}
\end{document}