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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Maroc}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Maroc juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\emph{Les quatre exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $A = 9x^2 - 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ pour $x = - \dfrac16$ puis pour $x = 10^{-2}$.
\item Factoriser $A$ puis résoudre l'équation $A = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Donner le résultat sous la forme la plus simple possible 

\[A = 2\sqrt{48} - 3\sqrt{75} + 2\sqrt{27} \:; \quad 
B = \left(2\sqrt{2} - \sqrt{10}\right)^2\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Jean a acheté $130$ timbres, les uns à $2,20$ F{}, les autres à $2,50$ F{}.

Il a payé 301 F{}.

Combien a-t-il acheté de timbres de chaque sorte ?


\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici les tailles en centimètres des vingt-cinq élèves d'une classe de troisième 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{10}{>{\centering \arraybackslash}X}}
145 &150 &150 &172 &165 &160 &158 &162 &165 &158\\
154 &158 &160 &162 &154 &165 &160 &160 &158 &154\\
158 &160 &162 &165 &165&&&&&\\
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tailles en cm	&145&150&154&158&160&162&165&172\\ \hline
effectifs		&1 	&2	&3	&	&	&	&5	&\\ \hline
fréquences en \,\%&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer la taille moyenne
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\emph{Les exercices \rm{I} et \rm{II} sont indépendants}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit ABCD un carré de côté 6 cm. 

Soit I le milieu de [AB] et J celui de [BC].
(les questions 1 et 2 sont indépendantes)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer DI et DJ (donner les valeurs exactes). Que remarque-t-on ?
		\item Montrer que (BD) est la médiatrice de [IJ].
	\end{enumerate}
\item Soit K le point d'intersection de (IJ) et de (AD) 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que I est le milieu du segment [KJ].
		\item En déduire que les droites (AJ) et (KB) sont parallèles.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
ABCDEFGH est un pavé droit tel que :

AB = BC = 3 cm et AE = 5 cm

(On ne demande pas de refaire la figure).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.8,5.8)
\psframe(0.2,0.2)(2.2,4.7)%ABFE
\psline(2.2,0.2)(3.2,0.7)(3.2,5.2)(2.2,4.7)%BCGF
\psline(3.2,5.2)(1.2,5.2)(0.2,4.7)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,0.7)(3.2,0.7)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.2,5.2)(2.2,0.2)(1.2,0.7)(1.2,5.2)%HBDH
\psline[linestyle=dashed](1.2,0.7)(0.2,4.7)%DE
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2.2,0.2){B} \uput[r](3.2,0.7){C} \uput[l](1.2,0.7){D}
\uput[l](0.2,4.7){E} \uput[r](2.2,4.7){F} \uput[ur](3.2,5.2){G} \uput[u](1.2,5.2){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que DB $= 3\sqrt 2$~cm.
\item On admet que le triangle HDB est un triangle rectangle en D.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer HB.
		\item Calculer $\tan \widehat{\text{DHB}}$ ; 
en déduire une mesure de $\widehat{\text{DHB}}$ à un degré près.
	\end{enumerate}
\item On considère la pyramide EDBA.

Calculer le volume de cette pyramide.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

On fera la figure dans le plan rapporté au repère orthonormal (O, I, J) ; unité : 0,5 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A$(- 5~;~-10)$, B(11~;~2) et C, symétriques de A par rapport à la droite (OI).
		\item Quelles sont les coordonnées de C ?
		\item Calculer les longueurs AB, AC, BC et préciser la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}	
\item  $\Delta$ est la droite d'équation: $y = 2x$.

A est-il un point de $\Delta$ ? 

Tracer la droite $\Delta$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (BC).
		
Montrer que $\Delta$ et (BC) sont des droites perpendiculaires.
		\item Calculer les coordonnées du point M, intersection de $\Delta$ et (BC).
	\end{enumerate}
\item Démontrer que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Tracer ce cercle et calculer son rayon.
\item Construire l'orthocentre H du triangle ABC.

Déterminer l'équation de la droite (BH), puis les coordonnées du point H.
\end{enumerate}
\end{document}