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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Maroc}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Maroc octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression

\[Z = (8 - 2x)(2 - x) + 4 - x^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $Z$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.

Quel nombre faut-il ajouter à $Z$ pour que ce polynôme soit le développement du carré d'un expression du premier degré en $x$ ?
\item Décomposer $Z$ en un produit de deux facteurs du premier degré.

En déduire les valeurs de $x$ pou lesquelles $Z$ est nul.
\item Calculer la valeur numérique de $Z$ pour $x = 1 - \sqrt 2$ (faire le calcul à $0,01$ par défaut).

\item On pose $y = \dfrac{2 Z}{x - 10}$.

Simplifier l'expression obtenue, représenter graphiquement la fonction $y$ et déterminer les coordonnées des points d'intersection avec les bissectrices des axes.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle rectangle isocèle ABC $\left(\widehat{\text{A}}= 90\degres \right)$.

On prend un point M sur l'hypoténuse [BC] et l'on construit un cercle passant par M, tangent en B à (AB), et un cercle passant par M tangent en C à (AC).

Ces deux cercles se recoupent en un point N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer la construction de ces deux cercles.
\item Quand le point M décrit le segment [BC], sur quelles lignes se déplacent les centres de ces cercles ?
\item Évaluer les angles $\widehat{\text{BNM}}$ et $\widehat{\text{CNM}}$ ; en déduire que le quadrilatère ABNC est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre.
\item Évaluer l'angle $\widehat{\text{BNA}}$.

Démontrer que la droite (NM) passe par le point A et que le produit AM $\cdot$ AN est constant.
\item Montrer que la somme des rayons des deux cercles est égale à une longueur constante.
\end{enumerate}
\end{document}