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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Maroc}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Maroc\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'expression 
\[x^2 - 4x\]
pour obtenir le développement du carré d'un binôme de la forme $(x - a)$.
\item Utiliser le résultat précédent pour mettre l'expression $x^2 - 4x - 21$ sous la forme 
\[(x - 7)(x + 3).\]
 (Les candidats qui n'auront pas su obtenir ce
résultat l'adopteront et continueront.)
\item Simplifier l'expression
\[\dfrac{x^2 -4x -21}{(x - 7)^2 - (7 - x) (2x + 1)}.\]
\item Calculer les valeurs numériques de l'expression précédente pour
\[x = - 3 \qquad \text{et} \qquad x = - \dfrac27.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit ABC un triangle quelconque tel que AB $<$ AC ; une droite (DE) non parallèle à (BC) coupe (AB) en D et (AC) en E (D entre A et B, E entre A et C).

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que les deux triangles ABC et ADE sont semblables.

Quels sont les angles égaux et les côtés homologues ?

Montrer que le quadrilatère BDEC est inscriptible.
\item Déduire de la similitude des triangles ADE et ABC la relation 
\begin{center}AE $\cdot$ AC = AB $\cdot$ AD.\end{center}
\item (DE) se déplace parallèlement à elle-même.

Sur quelle ligne reste alors le centre du cercle circonscrit au triangle BDE ?
\item Dans le cas général, (BE) et (DC) se coupent en I.

Comparer les triangles DIE et BIC. En déduire la relation 

\begin{center}ID $\cdot$ IC = IE $\cdot$ IB.\end{center}

\end{enumerate}
\end{document}