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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Maroc}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Maroc septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de polynômes du premier degré chacune des expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A&=&(3x - 4)^2 - 4(y + 2)^2,\\
B&=& 9x^2 - 12 xy + 4y^2,\\
C& =& 9x^2 - 4y^2.
\end{array}\]

\item Simplifier le rapport $\dfrac AC$.

Ce rapport peut-il être égal à 1 ?
\item On considère les rapports $\dfrac AC$ et $\dfrac{16}{B}$.

On pose $z = 3x - 2y$.

Calculer, en fonction de $z$, les
expressions
\begin{center}$\dfrac AC + \dfrac{16}{B}$\qquad et \qquad $\dfrac AC \times \dfrac{16}{B}$\end{center}

En déduire que $\dfrac AC + \dfrac{16}{B}$ est le carré d'un rapport simple.
\item Calculer $x$ et $y$ dans le cas où l'on a $z = 1$ et 
$\dfrac xy = \dfrac45$.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur une droite $D$ on donne trois points A, B, C, pris dans cet ordre, tels que
\begin{center}AB = 2~cm,\quad BC= 6~cm.\end{center}

On mène pat A, B, C des demi-droites AA$'$, BB$'$, CC$'$ perpendiculaires à la droite $D$ du même côté de celle-ci.

Sur (BB$'$) on porte un segment [BI] tel que BI $= a$.

(AI) coupe (CC$'$) en M et (CI) coupe (AA$'$) en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer CM et AN en fonction de $a$.
\item Montrer que les triangles BAN et CBM sont semblables.

Que représente [BB$'$) pour le triangle NBM ?

(BB$'$) coupant (MN) en P, calculer BP en fonction de $a$ (ce
résultat n'est pas nécessaire pour la suite du problème).
\item Déterminer $a$ pour que le triangle NBM soit rectangle en B.

Dans ce cas, tracer la hauteur [BH] du triangle NBM.

Que peut-on dire des quadrilatères ABHN et CBHM
et du triangle AHC? 
\end{enumerate}
\end{document}