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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Maroc septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\textbf{I}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier l'identité
\[x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = \left(x^2 + 3x + 1\right)^2.\]

\item En conclure que le nombre
\[(400 \times 401 \times 402 \times 403) + 1\]
est le carré d'un entier, que l'on déterminera.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{II}

\smallskip

Décomposer en produit de facteurs l'expression
\[ab- 5a - 3b + 15.\]

\smallskip

\textbf{III}

\smallskip

Mettre sous la forme d'une seule fraction l'expression

\[\left(\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{y^2}\right) : \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}\right).\]

\smallskip

\textbf{IV}

\smallskip

Résoudre le système suivant, en $x$ et $y$ :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{2}{1 - 3x} - \dfrac{3}{x + 2y}&=&-2,\\
\dfrac{1}{1 - 3x}+ \dfrac{3}{x + 2y}&=&- 1
\end{array}\right.\]

\smallskip

\textbf{V}

\smallskip

Il y a, dans un sac des billes blanches et des billes bleues.

Le nombre des billes bleues surpasse de 31 le nombre des billes blanches.

On ajoute 4 billes bleues et l'on enlève une blanche ; le nombre des billes bleues est alors quadruple du nombre des billes blanches.

Combien y avait-il, primitivement, de billes bleues et de billes blanches ?

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC, rectangle en A, dans lequel le côté [AC] est plus grand que le côté [AB].

On désigne par H la projection orthogonale de A sur le côté [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{HB}}{\text{HA}}$ et $\dfrac{\text{HA}}{\text{HC}}$.
\item À l'intérieur de l'angle $\widehat{\text{B}}$ du triangle on trace la demi-droite qui rencontre (AH) en D tel que $\widehat{\text{HBD}} = 45\degres$.

Par D on mène la. parallèle à (AC), qui rencontre (BC) en E.
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les rapports HC et HA' 
		\item Comparer HE et HA.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites BD et AE sont perpendiculaires.
		\item Quel est l'orthocentre du triangle BAD ?
	\end{enumerate}
\item Avec une même unité on donne AC $= 30$, AB $= 16$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer BD, AH, AE.
		\item On mène en A la perpendiculaire au plan du triangle.
		
On prend sur cette perpendiculaire un point S tel que AS $= \dfrac{60 \times 15}{17}$.

Calculer SE.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}