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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Maroc}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Maroc\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1}

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + y + 1&=& 0,\\
9x +3y - 4 &=&0.
\end{array}\right.\]
\item Vérifier le résultat par le calcul.
\item La droite représentée par la première équation rencontre O$x$ en A, O$y$ en D.

La droite représentée par la deuxième équation rencontre O$y$ en C.

Calculer les longueurs des côtés du triangle ABC et son aire.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression
\[\left(x^2 + z^2 - y^2\right)^2 - 4x^2z^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre cette expression sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\item Montrer que chaque facteur du produit précédent peut se mettre sous la forme d'une différence de deux carrés.

En conclure que l'expression proposée peut se mettre sous la forme d'un produit de quatre facteurs, que l'on écrira.
\item En observant ce produit de quatre facteurs montrer, sans aucun calcul, que les trois expressions

\[\begin{array}{l}
\left(x^2 + z^2 - y^2\right)^2- 4x^2z^2,\\
\left(z^2 + y^2 -  x^2\right)^2 - 4z^2y^2,\\
\left(y^2 + x^2 - z^2\right)^2 - 4y^2x^2
\end{array}\]
sont identiques.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un rectangle ABCD.

On prolonge [CD], au delà de D, d'une longueur DD$'$, et [CB], au delà de B, d'une longueur BB$'$.

Avec une même unité les mesures des segments [AB], [BC], [DD$'$], [BB$'$] sont les nombres $b,\: a,\: x,\: y$.

Dans le problème ces nombres vérifient la relation
\[\dfrac ax = \dfrac xy  = \dfrac yb.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant l'égalité des rapports extrêmes, comparer les triangles ADD$'$ et ABB$'$.

Déduire de cette étude que les points D$'$, A, B$'$ sont alignés.
\item On construit le rectangle D$'$CB$'$E.

La droite (BA) coupe (ED$'$) en H.

En utilisant deux des trois rapports de la relation donnée, convenablement choisis, comparer les triangles EAH et D$'$AH.

Déterminer l'angle des droites (EA) et (B$'$D$'$).
\end{enumerate}
\end{document}