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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Mauritanie}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Mauritanie juin 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la méthode d'élimination par substitution, résoudre l!e système d'équations suivant :
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\quad &4x + y &=& 52,\\
(2)\quad &5x-3y&=& - 3.
\end{array}\right.\]
\item En déduire la résolution du système 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
4(x + 1)^2 + (y - 2)^2&=& 52,\\
5(x + 1)^2 - 3(y - 2)^2&=&-3.
\end{array}\right.\]
\item On donne un repère cartésien orthonormé.

La longueur commune des vecteurs unitaires est 1 cm.

Tracer les droites $D_1,\: D_2,\:D_3$,\: et $D_4$\:, dont les équations sont, respectivement,
\begin{center}$y =- 2,\quad x = - 4,\quad y = 6$\quad et\quad $x = 2$.\end{center}

On donne A $= D_1 \cap D_2$,\quad B $= D_2 \cap D_3$, \quad C $= D_3 \cap D_4$,\quad et\quad D $= D_4 \cap D_1$.

Donner les coordonnées des points A, B, C et D.
\item Montrer que le quadrilatère ABCD est inscriptible dans un cercle, $(C)$, dont on déterminera les coordonnées du centre, ($\omega$), et dont on calculera la longueur du rayon.
\item On donne le point M, image du couple ordonné de réels (+ 3~;~+ 5).

Calculer la longueur du segment $\omega$M.

Des deux relations M $\in (C)$ et M $\notin  (C)$, laquelle est vraie ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit, sur une demi-droite [C$x$), les points B et A tels
que CB = BA $= 2R$.

On trace le cercle de diamètre [AB], de centre O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire une tangente (CT) à ce cercle.

Expliquer la construction.

Calculer la mesure de [CT] en fonction de $R$.
\item Soit $(\Delta)$ la droite perpendiculaire à [C$x$) en A.

Elle coupe la droite (CT) en N.

Montrer que les triangles CTO et CAN sont semblables et calculer la valeur du rapport de similitude.

En déduire les longueurs AN et CN.
\item T$'$ étant diamétralement opposé à T sur le cercle, on mène la droite T$'$B, qui coupe (CT) en I.

Calculer la valeur du rapport $\dfrac{\text{CB}}{\text{CO}}$.

En déduire la propriété de B pour le triangle CTT$'$, puis celle de T$'$I dans ce triangle.
\item On mène par I la parallèle à TT$'$, qui coupe CT$'$ en J.

Montrer que les points T, B et J sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}