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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Mayenne}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Mayenne juin 1982\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{Calculs sur les réels}

Calculer les nombres $a,\: b,\: c$ et $d$ et dire si ce sont des éléments de $\D$.

\[\begin{array}{l l}
a = \dfrac35 + \left(\dfrac23 \times \dfrac95\right)&b = \left(\sqrt 2 + 1\right)\left(\sqrt 2 - 1\right) ;\\
c = \left(3\sqrt 5 + 2\right)^2\:;&d = \dfrac{\sqrt 5 + 2}{\sqrt 5 - 2}
\end{array}\]

(rendre le dénominateur rationnel).

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Calculs sur les fonctions}

$f$ et $g$ sont deux fonctions de la variable réelle $x$ définies par 

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(3x + 5)(x + 2) - (x + 1)(3x + 5)\\
g(x)&=&(3x +5)(x + 3) - 3x^2
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$,\: $f(x) = 3x + 5$.

En déduire que la fonction $f$ est une fonction affine.
\item Donner une écriture simplifiée de $g(x)$ et en déduire que la fonction $g$ est une fonction affine. 
\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$ l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner dans le plan un repère orthonormé \Oij{} ainsi que les axes des coordonnées (l'unité de longueur est le centimètre). 

Placer les points

\begin{center}A(0~;~2),\qquad  B(4~;~0),\qquad C(2~;~6).\end{center}

\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item $(\Delta)$ représente la droite (AC). $S_{(\Delta)}$ est la symétrie
orthogonale par rapport à $(\Delta)$.

Placer le point E $= S_{(\Delta)}$(B).

Lire ses coordonnées sur le dessin.

Trouver par le calcul les coordonnées de E.

Démontrer que le triangle (B, C, E) est rectangle.
\item Placer le point F symétrique de C dans la symétrie centrale de centre A. 

Quelle est la nature du quadrilatère (B, C, E, F) ? 

Le démontrer.
\end{enumerate}
\end{document}