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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion--Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{14 septembre 2017}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges 14 septembre 2017~\decofourright\\[5pt]Métropole -- La Réunion -- Antilles-Guyane}}}

\bigskip

\textbf{THÉMATIQUE COMMUNE DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES-SCIENCES: L'EAU}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 6 points}

\medskip

Un sac opaque contient $120$ boules toutes indiscernables au toucher, dont 30 sont bleues. Les autres boules sont rouges ou vertes.

On considère l'expérience aléatoire suivante :

On tire une boule au hasard, on regarde sa couleur, on repose la boule dans le sac et on mélange.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue? Écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Cécile a effectué $20$ fois cette expérience aléatoire et elle a obtenu $8$ fois une boule verte. Choisir, parmi les réponses suivantes, le nombre de boules vertes contenues dans le sac (aucune justification n'est demandée) :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $48$ &\textbf{b.~~} $70$ &\textbf{c.~~} On ne peut pas savoir &\textbf{d.~~} $25$
\end{tabularx}
\medskip

\item  La probabilité de tirer une boule rouge est égale à $0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de boules rouges dans le sac ?
		\item Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Pour illustrer l'exercice, la figure ci-dessous a été faite à main levée.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
%\psgrid
\pslineByHand(0.5,2.5)(7.5,4)
\pslineByHand(2,0.5)(6,4.8)
\pslineByHand(2,0.5)(0.5,2.5)
\pslineByHand(6,4.8)(7.5,4)
\pslineByHand(3,3)(4,2.6)
\uput[ul](4.75,3.4){A}\uput[r](7.5,4){B}\uput[u](6,4.8){C}
\uput[l](0.5,2.5){D} \uput[d](2,0.5){E}\uput[ul](3,3){F}\uput[dr](3.8,2.6){G}
\rput{-50}(1.2,1.2){8,1 cm}\rput{-27}(3.3,2.6){3 cm}
\rput{46}(3.2,1.4){6,8 cm}\rput{45}(4.4,2.78){4 cm}
\rput{15}(3.6,3.4){5 cm}\rput{45}(5.2,4.3){5 cm}
\rput{15}(6,3.4){6,25 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

Les points D, F, A et B sont alignés, ainsi que les points E, G, A et C.

De plus, les droites (DE) et (FG) sont parallèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle AFG est un triangle rectangle.
\item  Calculer la longueur du segment [AD]. En déduire la longueur du segment [FD].
\item  Les droites (FG) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Voici trois figures différentes, aucune n'est à l'échelle indiquée dans l'exercice :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(4.9,4.3)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](0,0)(0,4.3)(3.8,4.3)(3.8,1)(1,1)(1,3.3)(2.7,3.3)(2.7,2.2)(2.2,2.2)
\end{pspicture}&
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(4.9,4.3)
%\psline[linecolor=blue](4.9,2.3)(3.6,0)(0.9,0)(0,2.2)(1,3.4)(2.4,3.4)(3,2.3)(2.7,1.7)(2,1.7)
%\end{pspicture}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4.2,-3.5)(4.7,2.7)
\psStartPoint(0,0)
\psVector[linecolor=blue,
arrows=-,linewidth=1.5pt](1,0)(1;60)(2;120)(-3,0)(3;-120)(3;-60)(4,0)(4;60)
\end{pspicture}
&\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(4.9,4.3)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt ](0.5,0.5)(0.5,3.4)(3.4,3.4)(3.4,1.4)(1.2,1.4)(1.2,2.7)(2.7,2.7)(2.7,1.9)(1.9,1.9)
\end{pspicture}\\
figure 1 &figure 2 &figure 3\\
\end{tabularx}
\end{center}

Le programme ci-dessous contient une variable nommée \og \textbf{longueur} \fg.

\medskip

\begin{minipage}{.4\linewidth}
Script
\begin{scratch}
    \blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
    \blocklook{cacher}
    \blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
    \blockmove{s’orienter à \ovalnum{90\selectarrownum} degrés}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à   \ovalnum{30} }
    \blockpen{effacer tout}
    \blockpen{mettre la taille du stylo à \ovalnum{3}}
    \blockpen{stylo en position d'écriture}        
        \blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
    {
        \blockmoreblocks{un tour}
        \blockvariable{ajouter  à \selectmenu{longueur}    \ovalnum{30} }
    }
\end{scratch}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.2\linewidth}
~
\end{minipage}
\begin{minipage}{.4\linewidth}
{Le~bloc~:~\textbf{un~tour}}

\begin{scratch}
	\initmoreblocks{Définir \namemoreblocks{un tour}}
		\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
		{\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur} }
		\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
		}		
	\blockvariable{ajouter à  \selectmenu{longueur}  \ovalnum{30} }
		\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
		{
		\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur} }
		\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
		}
\end{scratch}
\end{minipage}

\medskip

On rappelle que l'instruction \raisebox{-2.3ex}{\begin{scratch} \blockmove{s’orienter à \ovalnum{90\selectarrownum} degrés}  \end{scratch}} signifie que l'on s'oriente vers la droite avec le stylo.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner la figure obtenue avec le bloc \og un tour\fg{} donné dans le cadre de droite ci-dessus, pour une longueur de départ égale à 30, étant orienté vers la droite avec le stylo, en début de tracé. On prendra 1~cm pour 30~unités de longueur, c'est-à-dire 30 pixels.
		\item Comment est-on orienté avec le stylo après ce tracé ? (aucune justification n'est demandée)
	\end{enumerate}
\item Laquelle des figures 1 ou 3 le programme ci-dessus permet-il d'obtenir ? Justifier votre réponse.
\item Quelle modification faut-il apporter au bloc \og \textbf{un tour}\fg{} pour obtenir la figure 2 ci-dessus ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  9 points}

\medskip

Monsieur Chapuis souhaite changer le carrelage et les plinthes\footnote{Une plinthe est un élément décoratif de faible hauteur fixé au bas des murs le long du sol.} dans le salon de son appartement. Pour cela il doit acheter des carreaux, de la colle et des plinthes en bois qui seront clouées. Il dispose des documents suivants :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(12,6)
\rput(3,5.8){Document 1 : \textbf{plan}, la pièce correspond à la partie grisée}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0,5)(4,5)(7,3)(7,0)
\psline[linewidth=1.75pt](1,0)(0,0)(0,5)(4,5)(7,3)(7,0)(2,0)
\uput[l](0,2.5){5 m}\uput[u](2,5){4 m}\uput[r](7,1.5){3 m}
\uput[d](4.5,0){5 m}\uput[d](0.5,0){1 m}
\psline[linestyle=dashed](4,5)(7,5)(7,3)
\psframe(7,5)(6.8,4.8)
\uput[ul](0,5){A} \uput[u](4,5){B}\uput[r](7,3){C}
\uput[dr](7,0){D}\uput[d](2,0){E} \uput[d](1,0){F}\uput[dl](0,0){G}
\uput[ur](7,5){H}
\rput(1.5,1){Porte de}
\rput(1.5,0.5){largeur 1 m}
\rput(9.3,2.6){Le schéma ci-contre n'est} \rput(9.3,2){pas
réalisé à l'échelle}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.4cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{Document 2}		&&\multicolumn{1}{|c|}{Document 3}\\
\textbf{Carrelage}						&&\textbf{Colle pour le carrelage}\\
Taille d'un carreau : 50 cm $\times$ 50 cm&&\\
Epaisseur d'un carreau : 0,9 cm			&&Conditionnement: sac de 25 kg\\
Conditionnement: 1,25 m$^2$ par boîte	&&Rendement (aire que l'on peut coller) : 4 m$^2$ par sac\\
Prix : 19,95 \euro{} par boîte			&&Prix : 22 \euro{} le sac\\
\textbf{Plinthe}						&&\textbf{Paquet de clous pour les plinthes}\\
Forme: rectangulaire de longueur 1~m	&&Prix: 5,50 \euro{} le paquet\\
Vendue à l'unité						&&\\
Prix: 2,95  \euro{} la plinthe en bois	&&\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que la longueur GD est égale à 7~m, déterminer l'aire du triangle BCH.
		\item Montrer que l'aire de la pièce est 32 m$^2$.
	\end{enumerate}
\item Pour ne pas manquer de carrelage ni de colle, le vendeur conseille à monsieur Chapuis de prévoir une aire supérieure de 10\,\% à l'aire calculée à la question 1.
	
Monsieur Chapuis doit acheter des boîtes entières et des sacs entiers.
	
Déterminer le nombre de boîtes de carrelage et le nombre de sacs de colle à acheter.
\item Le vendeur recommande aussi de prendre une marge de 10\,\% sur la longueur des plinthes. 
	
Déterminer le nombre total de plinthes que monsieur Chapuis doit acheter pour faire le tour de la pièce. 
	
On précise qu'il n'y a pas de plinthe sur la porte.
\item Quel est le montant de la dépense de monsieur Chapuis, sachant qu'il peut se contenter d'un paquet de clous ? Arrondir la réponse à l'euro près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill  5 points}

\medskip

Pour chaque affirmation, dire en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{l X}
\textbf{Affirmation 1 :} &~\\
&\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Programme de calcul A}\\
Choisir un nombre\\
Ajouter 3\\
Multiplier le résultat par 2\\
Soustraire le double du nombre de départ\\ \hline
\end{tabular}\\
&Le résultat du programme de calcul A est toujours égal à 6.\\
\textbf{Affirmation 2 :} &Le résultat du calcul $\dfrac{7}{5} - \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{3}$ est égal à $\dfrac{1}{5}$.\\
\textbf{Affirmation 3 :} &La solution de l'équation $4x - 5 = x + 1$ est une solution de l'équation $x^2 - 2x = 0$.\\
\textbf{Affirmation 4 :} &Pour tous les nombres entiers $n$ compris entre $2$ et $9$, $2^n - 1$ est un nombre premier.\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill  5 points}

\medskip

Dans une station de ski, les responsables doivent enneiger la piste de slalom avec de la neige artificielle. La neige artificielle est produite à l'aide de canons à neige. La piste est modélisée par un rectangle dont la largeur est 25 m et la longueur est 480~m.

Chaque canon à neige utilise 1 m$^3$ d'eau pour produire 2 m$^3$ de neige.

Débit de production de neige : 30 m$^3$ par heure
et par canon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour préparer correctement la piste de slalom, on souhaite produire une couche de neige artificielle de $40$~cm d'épaisseur.

Quel volume de neige doit-on produire ? Quel sera le volume d'eau utilisé ?
\item Sur cette piste de ski, il y a 7 canons à neige qui produisent tous le même volume de neige.

Déterminer la durée nécessaire de fonctionnement des canons à neige pour produire les \np{4800} m$^3$ de neige souhaités. Donner le résultat à l'heure près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill 7 points}

\medskip

Les légionelles sont des bactéries présentes dans l'eau potable. Lorsque la température de l'eau est comprise
entre 30~\degres C et 45~\degres C, ces bactéries prolifèrent et peuvent atteindre, en 2 ou 3 jours, des concentrations dangereuses pour l'homme.

On rappelle que \og $\mu$ m \fg{} est l'abréviation de micromètre. Un micromètre est égal à un millionième de mètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La taille d'une bactérie légionelle est 0,8 $\mu$m.

Exprimer cette taille en m et donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.
\item  Lorsque la température de l'eau est 37~\degres C, cette population de bactéries légionelles double tous les quarts d'heure.

Une population de $100$ bactéries légionelles est placée dans ces conditions.

On a créé la feuille de calcul suivante qui permet de donner le nombre de bactéries légionelles en fonction du nombre de quarts d'heure écoulés:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline
1 &Nombre de quarts d'heure &Nombre de bactéries\\ \hline
2 &0 &100\\ \hline
3 &1&\\ \hline
4 &2&\\ \hline
5 &3&\\ \hline
6 &4&\\ \hline
7 &5&\\ \hline
8 &6&\\ \hline
9 &7&\\ \hline
10 &8&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Dans la cellule B3, on veut saisir une formule que l'on pourra étirer vers le bas dans la colonne B pour calculer le nombre de bactéries légionelles correspondant au nombre de quarts d'heure écoulés. Quelle est cette formule ?
		\item Quel est le nombre de bactéries légionelles au bout d'une heure ?
		\item Le nombre de bactéries légionelles est-il proportionnel au temps écoulé ?
		\item Après combien de quarts d'heure cette population dépasse-t-elle dix mille bactéries légionelles ?
 	\end{enumerate}
\item On souhaite tester l'efficacité d'un antibiotique pour lutter contre la bactérie légionelle. On introduit l'antibiotique dans un récipient qui contient $10^4$ bactéries légionelles au temps $t = 0$. La représentation graphique, sur \textbf{l'annexe, à rendre avec la copie}, donne le nombre de bactéries dans le récipient en
fonction du temps.
	\begin{enumerate}
		\item Au bout de 3 heures, combien reste-t-il environ de bactéries légionelles dans le récipient ?
		\item Au bout de combien de temps environ reste-t-il \np{6000} bactéries légionelles dans le récipient?
		\item On estime qu'un antibiotique sera efficace sur l'être humain s'il parvient à réduire de $80$\,\% le nombre initial de bactéries dans le récipient en moins de $5$~heures.
		
En s'aidant du graphique, étudier l'efficacité de l'antibiotique testé sur l'être humain.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip

 
Faire apparaître les traits justifiant les réponses de la question 3. de l'exercice 7
 
\vspace{2cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.0008cm}
\begin{pspicture}(-1,-700)(10.5,12000) 
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,12000)}
\multido{\n=0+2000}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=15000](0,0)(0,0)(10.5,12000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{10000 2.71828 0.223 x mul exp div}
\uput[d](9,-650){temps $t$ en $h$}
\uput[r](0,12500){Nombre de bactéries}
\multido{\n=0+2000}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}