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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Métropole La Réunion Mayotte~\decofourright\\septembre 2007}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

 \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip
 
Dans une classe de troisième de $24$~élèves, les délégués ont fait passer une enquête concernant le temps de travail à la maison chaque soir.

\medskip

Il résulte de cette enquête que la moitié des élèves travaille 30~minutes, un quart des élèves travaille 45~minutes, deux élèves travaillent 15~minutes, un élève déclare ne pas travailler et les autres travaillent une heure.
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau des effectifs suivant :\\

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps de travail&	0 min&	15 min&	30 min&	45 min &	60 min\\ \hline
Effectifs && 	2&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\item  Calculer la durée moyenne du temps de travail à la maison pour les élèves de cette classe.
\item  Illustrer la situation par un diagramme circulaire.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2\hfill 3 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

\medskip

Pour chacune des trois questions indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1& Quelle est la forme développée de l'expression $(2x + 1)^2 - 1$ ?&$2x^2+ 2x $&	$4x^2 + 4x$&$4x^2$\\ \hline
2&Quelle est la forme  factorisée de l'expression $(2x + 1)^2 - 1$ ?&
		$(2x +1) (2x - 1)$&	$2x(2x -2)$&		$2x (2x +  2)$\\ \hline
3&On donne les deux équations
$(x - 6)(x + 1) = 0$ et $x^2 - 3x = 18$. Combien ont-elles de solutions	communes ?&aucune solution commune&une solution commune&deux solutions communes\\ \hline
\end{tabularx}
	
\bigskip

\textbf{Exercice 3\hfill 4 points}

\medskip
 
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\dfrac{3}{25}$ est un nombre décimal.
\item  Les nombres $570$ et $795$ sont premiers entre eux.
\item  La somme de deux multiples de $5$ est toujours un multiple de $5$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip
 
\parbox{0.5\linewidth}{SABC est une pyramide ayant pour base le triangle ABC et pour hauteur SA.

AB = 6 cm ; 

BC = SA = 8 cm ;

AC = 10 cm.} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}
(4.5,4.5)
\pspolygon(0,0)(2.8,0)(4.2,1.5)(0,4)%ABCSA
\psline(2.8,0)(0,4)%BS
\psline[linestyle=dashed](0,0)(4.2,1.5)
\uput[d](0,0){A} \uput[d](2.8,0){B} \uput[r](4.2,1.5){C} \uput[u](0,4){S} 
\uput[l](0,2){I} \uput[r](1.4,2){J} \uput[ur](2.1,2.75){K}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,2)(1.4,2)(2.1,2.75)
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. 
\item  Calculer la longueur BS. 
\item  Calculer le volume de la pyramide SABC.

\medskip

\emph{On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule  : V $= \dfrac{1}{3}ah$ où $a$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur}
\item  On appelle I, J, K les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB] et  [SC].

 Calculer le volume de la pyramide SIJK.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}
 
\medskip
 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}
(5,5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5} \psline(0,2.5)(5,2.5)(3.75,0.335)
\uput[dr](3.75,0.335){A} \uput[l](0,2.5){B} \uput[d](2.5,2.5){I} \uput[r](5,2.5){E} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{Sur la figure ci-contre\\
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] BE  = 4~cm ;
\item[$\bullet~$]	I est le milieu du segment [BE].
\item[$\bullet~$]	A est un point du cercle de diamètre [BE] tel que
la mesure de l'angle $\widehat{\text{BEA}}$ est 60 \degres.
\end{itemize}}

\begin{enumerate}
\item  Reproduire en vraie grandeur la figure sur la copie. \emph{Ne pas écrire sous la figure pour pouvoir la compléter.}
\item  Démontrer que la mesure de l'angle $\widehat{\text{BIA}}$ est 120 \degres. 
\item  A est l'image de B par une rotation de centre I. Préciser l'angle de cette rotation. 
\item  On appelle F le symétrique de E par rapport au point A.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer F sur la figure. 
		\item   Déterminer la longueur BF.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip
 
Pour emprunter des livres dans une bibliothèque, on a le choix entre trois formules.

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Formule A : payer une participation de 0,50~\euro{} par livre emprunté.
\item[$\bullet~$] 	Formule B : acheter une carte rose de bibliothèque à 7,50~\euro{} par an et ne payer qu'une participation de 0,20 ? par livre emprunté.
\item[$\bullet~$] 	Formule C :  acheter une carte verte de bibliothèque à 15,50~\euro{} par an et emprunter autant de livres que l'on veut.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{PARTIE 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de livres empruntés par an&	10&30&45\\ \hline
Prix à payer avec la formule A en \euro&&&\\ \hline
Prix à payer avec la formule B en \euro&&&\\ \hline
Prix à payer avec la formule C en \euro&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\item  On appelle $x$ le nombre de livres empruntés par une personne en un an.\\
Soit P$_{\text{A}}$ le prix à payer avec la formule A.

Soit P$_{\text{B}}$ le prix à payer avec la formule B.

Soit P$_{\text{C}}$ le prix à payer avec la formule C.

Exprimer P$_{\text{A}}$ et P$_{\text{B}}$ en fonction de $x$.
\item  Résoudre l'équation $0,5x = 7,5 + 0,2x$.

Donner une interprétation de la solution trouvée.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{PARTIE 2}
 
Les tracés demandés dans cette partie seront réalisés sur une feuille de papier millimétré fournie.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer un repère orthogonal (O, I,  J), O étant placé en bas à gauche.
		
On prendra les unités suivantes :

	\begin{itemize}
		\item 1~cm pour 5~livres sur l'axe des abscisses,
		\item  1~cm pour 1~\euro{} sur l'axe des ordonnées.
	\end{itemize}
	
		\item Tracer dans ce repère.
	\begin{itemize}
		\item	la droite D$_{\text{A}}$ qui représente la fonction $x	\longmapsto 0,5x$ ;
		\item la droite D$_{\text{B}}$ qui représente la fonction $x 	\longmapsto	 0,2x + 7,5$ ;
		\item la droite D$_{\text{C}}$ qui représente la fonction $x		\longmapsto	15,5$.
	\end{itemize}
 	\end{enumerate}
\item En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la formule la plus intéressante si on emprunte $20$~livres en un an ?
		\item  À partir de combien de livres empruntés par an la formule C est-elle la plus intéressante ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}