\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox} 
\usepackage{tabularx}
\usepackage{array} 
\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} 
\usepackage{graphics,graphicx}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pifont}
\definecolor{violet}{rgb}{0.5,0,0.2}
\definecolor{orange}{rgb}{0.8,0.5,0}
\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Métropole septembre 2001},
pdftitle = {année 2001},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{septembre 2001}}
\rfoot{\small{Grenoble}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Grenoble
  septembre 2001 \decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère A $ = \dfrac{5}{6} -  \dfrac{7}{6} \times  \dfrac{1}{14} +  \dfrac{2}{3}$.

Calculer A, en indiquant les étapes.
\item  On considère B $ = 3\sqrt{20} - \sqrt{45} + \sqrt{5}$.

Écrire B sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus petit possible.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de \nombre{4176} et \np{6960}.
		\item Mettre $\dfrac{\np{6960}}{\np{4176}}$	 sous forme de fraction irréductible.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression :

 $C = (3x - 5) (- 5x + 2) + (3x - 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer $C$. 
\item  Factoriser $C$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un jardinier veut planter des pensées et des primevères pour former deux massifs de fleurs.

Pour le premier massif, il achète 12 pensées et 7 primevères, cela lui coûte 71,30 F.
 
Pour le deuxième massif, il achète 8 pensées et 24 primevères, cela lui coûte 91,40 F.
  
Calculer le prix d'une pensée, d'une primevère.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un apiculteur fait le bilan annuel de la production de miel de ses ruches.

Il établit le tableau ci-dessous :

\begin{center}
{\small  \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline
Production $p$ de miel (en kg)&$18 \leqslant p < 20$&$20 \leqslant p < 22$&$22 \leqslant p < 24$&$24 \leqslant p < 26$&$26 \leqslant p < 28$&$28 \leqslant p < 30$\\ \hline
Nombre de ruches & 2&8&5&2&1&2\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}

\medskip

Calculer la quantité moyenne de miel produite par ruche.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre.}

\parbox{0.25\linewidth}{On donne  :

BD = 7

AD = 12

$\widehat{\text{BCD}} = 50\up{o}$} \hfill
\parbox{0.7\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6,4)
\pspolygon(0,3.5)(8,3.5)(5,0)
\psline(5,0)(5,3.5)
\psline(4.8,3.5)(4.8,3.3)(5.2,3.3)(5.2,3.5)
\uput[l](0,3.5){A} \uput[u](5,3.5){B} \uput[r](8,3.5){C} \uput[d](5,0){D} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ADB}}$ (on donnera le résultat arrondi au degré).
\item  Calculer la longueur CD (on donnera le résultat arrondi au dixième).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre et l'unité de volume est le centimètre cube.}

On note $h$ la hauteur d'eau dans un cylindre de rayon 8 et de hauteur 15 (figure 1). 

On place alors au fond de ce cylindre une boule de rayon 6 et on constate que le cylindre est totalement rempli (figure 2).

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5)
\psframe[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.35)(3.2,2.5)
\psline(0,0.35)(0,3.5) \psline(3.2,0.35)(3.2,3.5) 
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.6,0.35)(1.6,0.35)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.6,2.5)(1.6,0.35)
\psellipse(1.6,3.5)(1.6,0.35)
\psellipse[linestyle=dashed](1.6,0.35)(1.6,0.35)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.6,3.5)(3.2,3.5)
\uput[u](2.4,3.5){8}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.4,0.35)(3.4,2.5)
\uput[r](3.4,1.42){$h$}
\uput[d](1.6,-0.5){\emph{Figure} 1}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5)
\psframe[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.35)(3.2,3.5)
\psline(0,0.35)(0,3.5) \psline(3.2,0.35)(3.2,3.5) 
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.6,0.35)(1.6,0.35)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.6,3.5)(1.6,0.35)
\psellipse(1.6,3.5)(1.6,0.35)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray](1.6,1.5){1.25}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.4,0.35)(3.4,3.5)
\uput[r](3.4,1.75){$15$}
\uput[d](1.6,-0.5){\emph{Figure} 2}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item  Calculer en fonction de $\pi$ le volume du cylindre.
\item  Montrer que la valeur exacte du volume de la boule est $288\pi.$
\item  Déduire des questions précédentes la hauteur $h$ de l'eau dans le cylindre avant qu'on y place la boule.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Construire sur le schéma ci-après :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La figure \ding{203}, image de la figure \ding{202} par la symétrie d'axe (OA).
\item  La figure \ding{204}, image de la figure \ding{202} par la symétrie de centre O.
\item  La figure \ding{205}, image de la figure \ding{202} par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. Numéroter chacune des figures construites.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=8mm}\begin{pspicture}(10,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(10,10)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,5){1}{0}{180}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,4)(1,4)(2,5)(0,5)
\psline[linecolor=gray](0,5)(2,5)
\rput(1,5){\ding{202}}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3,6)(4,5)(9,8)
\uput[ur](3,6){A} \uput[ur](4,5){O} \uput[ur](9,8){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans tout le problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le centimètre carré.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Première partie}
\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthonormé (O, I, J), placer les points :

A(1 ; 1,5) \qquad		B(5,5~;~7,5)\qquad 	C$(5~;~- 1,5)$
\item  Calculer la longueur BC (on donnera la valeur exacte).
\item  On donne : AB = 7,5	et	AC = 5.

Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item  Calculer l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

On considère le triangle ABC rectangle en A obtenu dans la première partie.
\begin{enumerate}
\item  Sur la figure de la première partie, placer le point K du segment [AC] tel que CK = 2 et tracer la perpendiculaire à la droite (AC) passant par K. Cette droite coupe la droite (BC) en L.
\item  Montrer que les droites (AB) et (KL) sont parallèles.
\item Calculer la longueur KL.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

On considère un point T du segment [AK].

On note KT $= x ~(x$ est un nombre compris entre $0$ et $3$).

On rappelle que :

$\bullet~$ KL =  3 ;

$\bullet~$ l'aire du triangle ABC est 18,75 cm$^2$.
\begin{enumerate}
\item  Exprimer l'aire du triangle LTC en fonction de $x$.
\item  Montrer que l'aire du quadrilatère ABLT est $15,75 - 1,5x$.
\item  L'aire du quadrilatère ABLT peut-elle être égale à celle du triangle LTC ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
\end{document} 