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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Metz--Nancy}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Metz--Nancy juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $\left(\sqrt 3 + 1\right)^2$ et $\left(\sqrt 3 - 1\right)^2$.
\item En déduire une expression simple de :
\begin{center}$A = \sqrt{4 + 2\sqrt 3}$\quad et de \quad $B = \sqrt{4 - 2\sqrt 3}$.\end{center}
\item Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par : 
\[f(x) =\dfrac12 (x + 1)^2.\]

Montrer que $f\left(\sqrt 3\right) = \dfrac AB$.
\item Soit $g$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par :
12
\[g(x) = \dfrac13(x + 1)\left[(x +1)^2  - 4x - 4\right].\]

Factoriser $g(x)$.
\item Soit $F$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par:
\[F(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}.\]

Dans le plan rapporte à un repère \Oij{} construire la courbe représentative de la fonction $F$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Soit dans le plan euclidien $P$ un cercle ($\mathcal{C}$) de centre O, de rayon 1.

Le segment [AB] est un diamètre de ce cercle et H est un point du cercle tel que 

$d$(H, A) $= d$(H, B).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du triangle (H, A, B) ? Calculer $d$(H, A).
\item Démontrer que $\left(\text{O},~\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OH}}\right)$ est un repère orthonormé du plan $P$.

Quelles sont les coordonnées de A dans ce repère ?
\item Soit E le point de coordonnées $(-2~;~-1)$ dans ce repère.

Quelles sont les coordonnées de $\vect{\text{AH}}$ et $\vect{\text{AE}}$ ?

Que peut-on dire des points A, H, E et du point A ?
\item Soit F la projection orthogonale de E sur la droite (OH).

Démontrer que F est sur le cercle ($\mathcal{C}$).

Que peut-on dire de la droite (EF) pour le cercle ?
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle $\widehat{\text{HEF}}$.

Calculer $\sin \alpha$. En déduire $\cos \alpha$ et $\alpha$.
\item Trouver l'équation de la droite perpendiculaire en E à la droite (HE) .

En déduire les coordonnées du point S d'intersection de cette droite avec la droite (HO).

Que peut-on dire du triangle (H, E, S) ?
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. :} $d$(H, A), distance du point H au point A, peut aussi être notée HA.
\end{document}