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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Mexico juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'expression

\[A(x) = (2 - 3x)(2 + 3x) - 2x(3x + 2) +(3x + 2)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les opérations indiquées et donner le résultat sous forme d'un polynôme ordonné suivant
les puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre l'expression $A(x)$ sous forme d'un produit
de facteurs du premier degré en $x$.
\item Quelle est la valeur numérique de l'expression $A(x)$
si l'on donne à $x$ les valeurs $0,\: + 2,\: + \sqrt 5$  ?

Calculer $\sqrt 5$ à $\dfrac{1}{100}$ près, puis donner une valeur approchée de $A(x)$ pour cette valeur de $x$.
\item Soit la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{(3x + 2)^2}$.

Préciser pour quelle valeur de $x$ on ne peut calculer la valeur numérique de la fraction $F(x)$.

Simplifier cette fraction ; trouver la valeur de $x$ pour laquelle cette fraction est égale à 1.
\item Représenter graphiquement les fonctions définies par
\begin{center}$y_1 = -2x + 4, \qquad y_2 = 3x + 2$.\end{center}
(Unité : le centimètre sur les deux axes.)

Expliquer comment on peut retrouver graphiquement résultat de la question 4.
\item Résoudre l'équation $F(x) = 1$.
\item Dans un repère orthonormé d'origine O, représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y = 2x - 4$\qquad et\qquad $y = 5 - x$.\end{center}

Déterminer les coordonnées du point d'intersection A, des deux droites ainsi construites et en déduire la mesure OA.
\item Déterminer les coordonnées du milieu, I, de [OA].

Calculer le coefficient directeur de la droite (OA) et en déduire l'équation de la médiatrice du segment [OA].
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O, de rayon $R = 4$~cm et un point A sur ce cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer comment construire, à la règle et au compas (sans rapporteur) un arc $\wideparen{\text{AB}} = 150\degres$ et, à la suite, un arc $\wideparen{\text{BC}} = 90\degres$.
\item Soit [AB] et [BC] les cordes qui sous-tendent les arcs de la question 1.

On trace la corde [AC]. Quelle est la longueur des cordes [BC] et [AC] ?
\item Soit H la perpendiculaire abaissée de C sur (AB).

Quelle est la nature du triangle AHC ?

Calculer l'aire du triangle BHC.

\item La droite (CO) coupe la droite (AB) en D et l'arc $\wideparen{\text{AB}}$
en E.

Montrer que (AB) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CAE}}$.

Démontrer que les triangles ADE et ACB sont semblables.

Quelle est la valeur de l'arc $\wideparen{\text{AE}}$ ?

En déduire la valeur du rapport de similitude des triangles ADE et ACE.
\end{enumerate}
\end{document}