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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Mexico}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Mexico juin 1971~\decofourright}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\bigskip

Soient les expressions suivantes:

\[A(x) = (5x - 2)^2 - (4 - 2x)^2 \]

\[B(x) = (2x- 1)(x - 3)- 5(3 - x)(x - 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner ces expressions. 
\item Factoriser ces expressions.


\item Simplifier la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$ après avoir donné
son domaine d'existence.

Soit $F'(x)$ la fraction simplifiée obtenue.

Pour quelle valeur de $x$, \,  $F'(x) = 0$ ?
\item Calculer $F'(x)$ pour $x = \sqrt{7}$.

Rendre rationnel le dénominateur.
\item Dans un repère orthonormé (unité le centimètre) construire les droites $D_1$ et $D_2$ représentant les fonctions $y_1 = 3x + 2$ et $y_2  = x - 3$.

Calculer les coordonnées du point d'intersection M de ces deux droites.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N.B.} - La question \textbf{5.} est indépendante des premières. 

\medskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\bigskip

Soit le triangle isocèle ABC dont la base [BC] mesure 12~cm et la hauteur [AH] mesure 8~cm.

Tracer le cercle C(O, $R$) circonscrit au triangle ABC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en centimètres la mesure des côtés [AB] et [AC] et la mesure du diamètre [AA$']$ du cercle C(O, $R$).
\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.

Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$, à 1\degres près par défaut, sachant que :

\[ \sin 52\degres = 0,7880\quad ;\quad \sin 53\degres = 0,7986\quad ;\quad \sin 54\degres = 0,8090\quad ;\quad \sin 55\degres = 0,8192.\]

\item Soit D le point diamétralement opposé à B sur le cercle C(O, $R$).

On abaisse la perpendiculaire (AE) sur (CD).

Quelle est la nature du quadrilatère AHCE ?

En déduire que EA est une tangente au cercle C(O, $R$).
\item On mène (AR) perpendiculaire à (BD).

Démontrer que le quadrilatère BHKA est inscriptible dans un cercle C$'$(O$', R'$) dont on déterminera le centre O$'$ et la mesure du rayon $R'$.
\item Calculer la puissance du point E par rapport au cercle C(O, $R$).

En déduire la mesure  ED.
\item Calculer en cm$^2$ l'aire du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}
\end{document}