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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Mexico juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression
\[A(x) = (3x - 6)\left(4x^2 - 1\right) - (2x - 4)(2x + 1)^2.\]
	\begin{enumerate}
		\item Écrire cette expression sous forme d'un polynôme réduit et ordonné.
		\item L'écrire ensuite sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
		\item Résoudre l'équation $A(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé (unité de longueur le centimètre), construire les droites $\left(D_1\right)$,\:$\left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$ qui représentent respectivement les variations des fonctions, de la variable $x$, suivantes:
\begin{center} $y_1 = x - 2,\quad y_2 = 2x + 1$\quad et \quad $y_3 = 2x - 5$.\end{center}

La droite $\left(D_2\right)$ coupe l'axe des abscisses en A et la droite $\left(D_1\right)$ en M ; la droite $\left(D_3\right)$ coupe l'axe des ordonnées en B et la droite $\left(D_1\right)$ en N.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points A, B, M et N.
		\item Montrer que l'angle $\widehat{\text{AMN}}$ et l'angle $\widehat{\text{BNM}}$ sont égaux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle (ABC)inscrit dans un demi-cercle 


de centre O et de diamètre [BC] avec BC $= 2 R$, tel que 
$\widehat{\text{ABC}} = 30\degres$.

Soit D le milieu de [OB].

La perpendiculaire en D à (BC) coupe le demi-cercle en F et la droite (CA) en G.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (BOF) est équilatéral.
\item La droite (OF) coupe (BG) en E. Démontrer que (OE) et (CG) sont parallèles et que E est le milieu de [BG].
\item Comparer les triangles (BDF) et (GDC).

Calculer, en fonction de $R$. la longueur des segments [GC] et [GD].
\item Montrer que les quatre points A, D, B et G appartiennent à un même cercle, dont on précisera le centre et dont on calculera le diamètre.
en fonction de $R$.

\end{enumerate}
\end{document}