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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Mexico juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On donne l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[f : x \longmapsto f(x) = (x - 4)^2 - (x - 4) (3x - 5) + (8 - 2x)(x + 1).\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner le polynôme $f(x)$.
\item Ecrire $f(x)$ sous forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item Calculer les nombres $f(4)$ et $f\left(- \dfrac43\right)$.

Résoudre dans $\R$ l'équation 
\[f(x) = 0.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition, $E$, de la fonction rationnelle, $F$, de $\R$ dans $\R$ définie par
\[F(x) = \dfrac{16x^2 + 8x + 1}{(4 - x)(4x + 1)}.\]
		\item Simplifier $F(x)$ dans $E$ et noter la fraction simplifiée $F'(x)$.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ les deux termes de $F'(x)$ ont-ils positifs en même temps ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

On considère un plan muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C tels que

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = - 2\vect{\imath} - \vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = 3\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$\quad et \quad $\vect{\text{OC}} = - 5\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}$.\end{center}

\item Calculer les coordonnées de B$'$, C$'$ et A$'$ qui sont respectivement les milieux des bipoints (A, C), (A, B) et (B, C).
\item Calculer $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C) et montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle.
\item Montrer que A$'$ est la projection orthogonale de A sur la droite (BC).
\end{enumerate}
\end{document}