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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Mexico juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit les fonctions polynômes $f$ et $g$, applications de $\R$ dans $\R$ définies par .

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (x - 2)^2 - (2x + 3)^2\: \text{et}\\
g(x)&=&2\left(9x^2 - 1\right) + (3x + 1)^2 - 6x^2 - 2x.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$, puis $g(x)$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Résoudre successivement dans $\N$, dans $\D$ (ensemble des décimaux relatifs), puis dans $\R$, l'équation $f(x) = g(x)$. 
\item Soit $h$ la fonction rationnelle qui associe à $x$
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

$h$ est-elle une application de $\R$ dans $\R$ ? 

Quel e son domaine de définition, $\mathcal{D}$ ?

Démontrer que h(x) est égal à
\[h'(x) = \dfrac{-x-5}{7x - 1}.\]
pour tout élément $x$ de $\mathcal{D}$.
\item Résoudre dans $\mathcal{D}$ l'équation $h(x) = 0$. 
\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

On donne les points A, B, C et E de coordonnées respectives
\begin{center}A$(-2~;~5)$,\quad  B$(0~;~-3)$,\quad  C$(-5~;~0)$\quad  et\quad  E$\left(\dfrac72~;~0\right)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les composantes et les normes des vecteurs $\vect{\text{CA}}$ et $\vect{\text{CB}}$.

Montrer que le triangle ACB est rectangle en C.
\item Calculer les coordonnées du milieu, I, de (A, B).
\item On construit le point D, image de C par la symétrie de centre I.

Calculer les composantes de $\vect{\text{CD}}$ et les coordonnées de D.
\item Construire le plus simplement possible le cercle circonscrit au triangle (A, B, C).

Expliquer soigneusement votre construction.

Préciser le centre du cercle et calculer son rayon.
\item Démontrer que ce cercle passe par le point D.

Démontrer que (DE) est tangente à ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}